莫比乌斯反演学习笔记

Part 0

前置知识：

• 整除分块

可阅读这篇日报

板子：

for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
    j=n/(n/i);
    ans+=(j-i+1)*(n/i)
}

• 数论函数

$$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}1& amp;x=1\\ 0& amp;\text{存在}{p}^2|x,p\in Prime\\ (-1{)}^k& amp;k\text{为质因数个数}\end{array}$$

PS: $\mu$ 表示莫比乌斯函数

初学者评价：什么 kb (

狄利克雷卷积：

$$f(x)\ast g(x)=\sum _{i\mid x}^{}f(i)g(\frac{x}{i})$$

$f(x)\ast g(x)$ 表示数论函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的狄利克雷卷积，也可写作 $f\ast g$。

积性函数：$f(x\times y)=f(x)\times f(y)[gcd(x,y)=1]$，很多常见的数论函数都是积性函数，例如 $\mu$ 和 $\phi$。

PS: $\phi$ 表示欧拉函数

积性函数与狄利克雷卷积的相关性质：如果 $f$ 和 $g$ 都是积性函数，那么 $f\ast g$ 也是积性函数。

证明咕咕咕

单位函数：$ϵ(x)=[x=1]$

常数函数：$1(x)=1$

除数函数：${\sigma }_k(x)=\sum _{d\mid x}{d}^k$

欧拉函数：$\phi (x)=\sum _{i=1}^x[gcd(i,x)=1]$

恒等函数：${\mathrm{id}}_k(x)=x^k$，${\mathrm{id}}_1(x)$ 通常记作 $\mathrm{id}(x)$

一些定理：

$$\mu \ast 1=ϵ$$

$$\phi \ast 1=\mathrm{id}$$

Part 1

先扔个结论：

$$[gcd(i,j)==1]\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)$$

证明：
$\mu$ 函数有个性质：

$$\sum _{d\mid n}\mu (d)=[n=1]$$

如果 $gcd(i,j)=1$ 的话，那么代表着我们按上个结论中枚举的那个 $n$ 是 $1$，也就是式子的值是 $1$，反之，有一个与 $[gcd(i,j)=1]$ 相同的值：$0$。

因为 $\mu$ 函数是积性函数，所以可以用线性筛求出 $\mu$ 函数，时间复杂度 $O(n)$。

inline void init(){
	memset(isprime,1,sizeof(isprime));
	isprime[1]=0;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;++i){
		if(isprime[i]){
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=N;++j){
			isprime[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]-=mu[i];
			else{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
}

Part 2

注：下文中所有除法结果皆默认向下取整

例题1-P2522 [HAOI2011]Problem b

求

$$\sum _{i=a}^b\sum _{j=c}^d[gcd(i,j)=k]$$

考虑容斥，将式子分解为四个部分，每个部分都为

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=k]$$

大力推柿子：

$$\sum _{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{k}}[gcd(i,j)=1]$$

运用反演定理：

$$\sum _{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{k}}\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)$$

注意到后面的约数可以提到前面枚举：

$$\sum _{d=1}^{\frac{min(n,m)}{k}}\mu (d)\sum _{i=1}^{\frac{n}{kd}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{kd}}$$

$$\sum _{d=1}^{\frac{min(n,m)}{k}}\mu (d)\frac{n}{kd}\frac{m}{kd}$$

式子可以使用整除分块求解，复杂度 $O(n+T\sqrt{n})$。

注意：此题如果使用 #define int long long 将会 T 飞，别问我为什么知道，问就是我这么干了。

例题2-P2257 YY的GCD

求

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)\in prime]$$

套路变换一下：

$$\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=k](k\in prime)$$

$$\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{k}}[gcd(i,j)=1](k\in prime)$$

上我们可爱有趣的莫比乌斯反演：

$$\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{i=1}^{\frac{n}{k}}\sum _{j=1}^{\frac{m}{k}}\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)$$

$$\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{d=1}^{\frac{min(n,m)}{k}}\mu (d)\frac{n}{kd}\frac{m}{kd}$$

设 $T=kd$

$$\sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{d=1}^{\frac{min(n,m)}{k}}\mu (d)\frac{n}{T}\frac{m}{T}$$

把 $T$ 提到前面并枚举：

$$\sum _{T=1}^{min(n,m)}\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum _{k\mid T,k\in prime}\mu (\frac{T}{k})$$

后面这个部分可以预处理，处理出前缀和，单次询问整除分块，复杂度 $O(n+T\sqrt{n})$。

Part 3

一些常见的 trick：

• 当题目的式子涉及到 $gcd$ 或 $\mathrm{lcm}$ 时，可优先考虑莫反
• 当出现枚举约数时，可考虑将其提到前面
• 当 $gcd(x,y)>1$ 时，$\mu (xy)=0$

本文参考：

• OI-Wiki：莫比乌斯反演
• An_Account：莫比乌斯反演-让我们从基础开始

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本文作者：Akane_Moon
本文链接：https://www.cnblogs.com/hzx-qwq/p/16543805.html
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