Tjoi2016&Heoi2016 求和

传送门

我知道这题可以直接把第二类斯特林数展开后一遍NTT算出来(你们没看到我写的那篇博客么……)，我只是想练一练分治NTT……

题目要求的是

\begin{equation}Ans=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)×2^j×(j!)\end{equation}

设

\begin{equation}A_i=\sum_{j=0}^i S(i,j)×2^j×(j!)\end{equation}

那么$A_i$的实际意义就是把n个小球放入任意多个不同盒子，每个盒子还有两种状态(你可以认为盒子有红色和蓝色两种)的方案数。

然后就不难写出$A_i$的递推式了：

\begin{equation}A_i=2\sum_{j=0}^i C_i^j A_j\end{equation}

显然这个递推式是可以直接分治NTT的，那么分治NTT裸上就好了，复杂度$O(n\log^2 n)$。

/**************************************************************
    Problem: 4555
    User: hzoier
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:3020 ms
    Memory:3892 kb
****************************************************************/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=262200,p=998244353,g=3;
void NTT(int*,int,int);
int qpow(int,int,int);
int n,N=1,f[maxn],A[maxn],B[maxn],ans=0;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    while(N<=(n<<1))N<<=1;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=(long long)f[i-1]*i%p;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        A[i]=qpow(f[i],p-2,p);
        B[i]=A[i];
        if(i&1)A[i]=(p-A[i])%p;
        if(i==1)B[i]=(long long)B[i]*(n+1)%p;
        else B[i]=(long long)B[i]*((qpow(i,n+1,p)-1+p)%p)%p*qpow((i-1+p)%p,p-2,p)%p;
    }
    NTT(A,N,1);
    NTT(B,N,1);
    for(int i=0;i<N;i++)A[i]=(long long)A[i]*B[i]%p;
    NTT(A,N,-1);
    for(int i=0,pw=1;i<=n;i++,pw=(pw<<1)%p)ans=(ans+(long long)pw*f[i]%p*A[i]%p)%p;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
void NTT(int *A,int n,int tp){
    for(int i=1,j=0,k;i<n-1;i++){
        k=n;
        do j^=(k>>=1);while(j<k);
        if(i<j)swap(A[i],A[j]);
    }
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        int wn=qpow(g,(tp>0?(p-1)/k:(p-1)/k*(long long)(p-2)%(p-1)),p);
        for(int i=0;i<n;i+=k){
            int w=1;
            for(int j=0;j<(k>>1);j++,w=(long long)w*wn%p){
                int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>1)]%p;
                A[i+j]=(a+b)%p;
                A[i+j+(k>>1)]=(a-b+p)%p;
            }
        }
    }
    if(tp<0){
        int inv=qpow(n,p-2,p);
        for(int i=0;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p;
    }
}
int qpow(int a,int b,int p){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=(long long)a*a%p)if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
    return ans;
}