省选模拟56

A.取石子游戏

题意：n堆石子，第\(i\)堆有\(a_i\)个，可以删除掉为d的倍数个数的石子堆，求后手必胜的删除方案数。\(n<=5e5,d<=10,a_i<=1e6,\sum\limits_{i=1}^n a_i<=1e7\)
首先是nim博弈的结论：存在后手必胜的充要条件为\(a_i\)异或和为零
对于\(n<=50,a_i<=10000\)，设\(f[i][j][k]\)表示考虑了前\(i\)堆石子，删除堆数\(%d=j\)，未删除的堆xor值为\(k\)的方案数
此时没有用到\(\sum\limits_{i=1}^n a_i<=1e7\)的条件
把\(a_i\)按降序排序，那么每次不小于\(a_i\)最高位+1位的k都不可能贡献答案，这样的话复杂度为\(O(nd\times cnt[2^{i-1},2_i-1]2_i)\)，不会超过\(O(nd\sum a_i)\)

B.路径计数

题意:n个点m条边的有向图，q次询问s->t走d条边且s只在起点t只在终点经过的方案数。\(n<=100,d<=50,q<=5e5\)
暴力的话直接dp\(f[s][i][t][d]\)表示起点s终点t现在在i走了d条边的方案数，然后统一回答。
限制只有两个，可以考虑容斥。
设\(f[i][j][k]\)表示走恰好k步\(i->j\)且不经过\(i,j\)的方案数
\(g[i][j][k]\)表示恰好走k步\(i->j\)的方案数，这个没有限制直接枚举起点拓展终点dp，复杂度为\(O(n^3d)\)。
\(h[i][j][k]\)表示恰好走k步\(i->i\)且不经过\(j\)的方案数
考虑如何求答案\(f\)
用总方案数-不合法的，前者显然是g，后面的分类为第一个不合法为i或j
有\(f[i][j][k]=g[i][j][k]-\sum\limits_{d=1}^{k-1}h[i][j][d]g[i][j][k-d]-\sum\limits_{d=1}^{k-1}f[i][j][d]g[j][j][k-d]\)
\(h[i][j][k]=g[i][j][k]-\sum\limits_{d=1}^{k-1}h[i][j][d]g[i][i][k-d]-\sum\limits_{d=1}^{k-1}f[i][j][d]g[j][i][k-d]\)
同时注意\(i=j\)的情况会被多减一次。

C.方格操作

题意：\(n\times m\)的01方格图，定义操作为把1的所在行和列异或一，本身变为0。每次对图中所有1同时操作，权值为1的个数，直到图中无1。\(n,m<=1e5\)
定义\(f[i]\)为i行1个数的奇偶性，\(g[i]\)为i列同理
那么\((i,j)\)一轮操作后会变成\(f[i]\ xor\ g[j]\)
因为只关心每个格子所在的行和列有多少1，而不关心具体位置，交换行和列对答案没有影响。
于是把\(f[i]=0\)的放上边，\(g[j]=0\)的放左边，会形成4个块，每个块要变化产生的值都是相同的，将问题的规模缩小到了\(2\times 2\)，除了初始方格图只有左下和右上两个块会有贡献，同时可以再次按照此规则移动行列，若不循环则最多\(2^4\)次。
现在的问题在于求出初始图的贡献和\(f[i],g[i]\)，后者差分即可，前者用扫描线+线段树可以解决。