csp-s模拟测试70

发现不码题解还是记不清题。

A. 木板

枚举$y_E$，求出$x_F$关于$y_E$的式子，设$y_E$为$x$，发现$Ans=\sum\limits_{x=1}^{n-1} [n|x^2]$

考场上受《神炎皇》启发，提出$gcd$，设$gcd(x,n)=d$

$n'd|x'^2d^2$

$n'|x'^2d$

又因为$gcd(n',x')=1$

所以$gcd(n',x'^2)=1$

就有$n'|d$

设$kn'=d$

联立$n'd=n$

得$kn'^2=n$

所以有$n' \leq \sqrt n$

这就允许我们枚举$n'$了

对于同一个$n'$和$d$，只需求出有多少$x'$

知$x' < n'$且$gcd(x',n')=1$

那么$x'$的个数为$\varphi (n')$

证明下$x$不会重复:

$x=x'd$

$x=\frac {x'n} {n'}$

n是常量，又因为$gcd(x',n')=1$，求出x互不相同。

$Ans=\sum\limits_{n'=1}^{\sqrt n} [n'|n][n'|\frac {n}{n'}] \varphi (n')$

 

然而考场上，d%i写成i%d，边调边证明（以为有瑕疵）到考试结束。。。

 

B. 打扫卫生