09-07 NOIP模拟测试39

期望得分：100+40+40

实际得分：90+40+35

这次T1还算顺，快1t打完带拍，速度还是慢些。T1争取40min内

T2想了一个小时，没什么思路，最后打了个套路状压+骗分

T3推到了d(x)为奇数x所有质因子的次幂全偶，然后发现时间不大够（不到40min）又忘线筛怎么打，于是去打暴力。最后暴力nm*sqrt(nm)+表水到35

 

A. 工业题

60%：式子可以递归，f[x][y]可能被多次递归，记忆化下。O(NM)

100%：

先不考虑a，b

答案要在边界计算，把f[n][m]的式子不断展开到边界，可知f[i][0]的系数是(i,1)到(n,m)的路径条数，可以理解为每条路径都会带一份f[i][0]过去

每在一个方向移动就会乘上对应的a或b，所以用x y路径长度分别快速幂即可。

即$C(n+m-i-1,n-i) \times f[i][n] \times a^{m} \times b^{n-i}$

另一边同理

 

B. 卡常题

 

 

 

C. 玄学题

发现每次贡献取决于指数的奇偶

约数个数是积性函数。当x,y互质时有，$d(x,y)=d(x) \times d(y)$

$d(x)=d(\prod p_i^{x_i}) \\
=\prod d(p_i^{x_i}) \\ =\prod (x_i+1)$

当且仅当$x_i$全偶时$d(x)$为奇数，也就是说x是个完全平方数

即指数的和中有多少奇数，转化子问题为i与[1,m]中的多少数能构成完全平方数。

把i，j中的$x_i$偶项除掉，若得到的两个数相等则满足，也可以表示为$i=pq^2 \ \ \  j=pr^2$

这样我们只要求出[1,m]中有多少满足的r，

$pr^2 \leq m
\\ r^2 \leq \left \lfloor \frac{m}{p}   \right \rfloor
\\ r \leq \sqrt{ \left \lfloor \frac{m}{p}   \right \rfloor}$

然后考虑求出p[]，线性筛。顺便复习

p(x)是个积性函数

每个数只能被它的最小质因子筛到，所以对于一组因子它能筛到的数的最小因子都不超过$min(p_i)$

在不互质的情况下根据最小质因子的数量在p[i]上乘或除以prime[j]即可

 

鸽一下