博弈论相关

我们称奇异局势为博弈者面对必定会输的局势

巴什博弈

有一堆石子，每次可以从里面取至少一个至多\(m\)个，最后把整堆石子取完的人胜

1. \(n = k*(m+1), k \in N ^ *\)
2. \(n\mod (m+1)=0\)
3. \(n=k*(m+1)+t,(k\in N,0< t\leq m)\)

\(1,2\)式同理，为先手必败的条件，

\(3\)为上述结论的证明，每次第二个人都可以取出\(t\)个石子保证第一个人必定面对奇异局势

威佐夫博弈

有两堆石子，分别为\(n,m\)，每次从一堆里面取任意个或者从两队里面取相同个数的石子，最后取完者胜

定义\((a_k,b_k)\)为一种局势

1. \((a_ k，b_ k), a_ k <= b_ k , k =0,1,2,\cdots,n\)
2. \(a_ 0=b_ 0=0\)
3. \(a_ k\) 是未在前面出现过的最小自然数
4. \(b_ k= a_ k + k\)
5. \(a_ k = \lfloor \frac{\sqrt{5}+1}{2} * k \rfloor\)
6. \(b_k=a_k+k>a_{k-1}+(k-1)=b_{k-1}>a_{k-1}\)
7. 若只改变奇异局势\((a_k，b_k)\)的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势
8. 如果使\((a_k, b_k)\)的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势
9. 假设面对的局势是\((a, b)\)，若 \(b = a\)，则同时从两堆中取走 \(a\) 个物体，就变为了奇异局势\((0,0)\)
10. 如果\(a = a_ k , b > b _ k\)，那么，取走\(b-b _ k\)个物体，即变为奇异局势
11. 如果\(a > a_ k , b = a_ k + k\),则从第一堆中拿走多余的数量\(a-a_k\)即可
12. 如果\(a<a_k,b=a_k+k\),分两种情况: 1.\(a=a_ j (j < k)\),从第二堆里面拿走\(b - b_ j\)即可;2.\(a=b_ j (j < k)\),从第二堆里面拿走\(b - a_ j\)即可

后面的几条为前面式子的证明

待补充。。。。