Noip模拟63 2021.9.27（考场惊现无限之环）
T1 电压机制
把题目转化为找那些边只被奇数环包含。
这样的话直接$dfs$生成一棵树，给每个点附上一个深度，根据其他的非树边都是返祖边
可以算出环内边的数量$dep[x]-dep[y]+1$，然后判断
如果在统计时使用差分的思想，可以复杂度降到$O(n)$，也可以用$set$多一个$log$都能过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 namespace AE86{ 4 inline int read(){ 5 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 6 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} 7 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f; 8 }inline void write(int x,char opt='\n'){ 9 char ch[20];int len=0;if(x<0)x=~x+1,putchar('-'); 10 do{ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4);x/=10;}while(x); 11 for(int i=len-1;i>=0;--i)putchar(ch[i]);putchar(opt);} 12 }using namespace AE86; 13 const int NN=4e5+5; 14 int n,m,ans,dep[NN],val[NN],huan; 15 struct SNOW{int to,next,cir;bool vis;}e[NN]; int head[NN],rp=1; 16 inline void add(int x,int y){e[++rp]=(SNOW){y,head[x]};head[x]=rp;} 17 18 inline void dfs(int x,int d){ 19 dep[x]=d; 20 for(int i=head[x];i;i=e[i].next){ 21 if(e[i].vis) continue; 22 e[i].vis=e[i^1].vis=1; 23 int y=e[i].to; 24 if(dep[y]){ 25 int tmp=dep[x]-dep[y]+1; 26 if(tmp&1){ 27 ++e[i].cir; ++e[i^1].cir; 28 --val[y]; ++huan; 29 } 30 else{ 31 --e[i].cir; --e[i^1].cir; 32 ++val[y]; 33 } 34 val[x]+=e[i].cir; 35 continue; 36 } 37 dfs(y,d+1); 38 e[i].cir=e[i^1].cir=val[y]; 39 val[x]+=val[y]; 40 } 41 } 42 namespace WSN{ 43 inline short main(){ 44 freopen("a.in","r",stdin); 45 freopen("a.out","w",stdout); 46 n=read(); m=read(); 47 for(int i=1,u,v;i<=m;i++) 48 u=read(),v=read(),add(u,v),add(v,u); 49 dfs(1,1); 50 for(int i=2;i<=rp;i+=2) if(e[i].cir==huan) ++ans; 51 write(ans); 52 return 0; 53 } 54 } 55 signed main(){return WSN::main();}
T2 括号密码
咕咕咕
T3 排列
无限之环加强版，$24$种情况特判就行，然后有两种特殊情况树状数组维护左右区间值
主要就是考虑你现在要找的对应排列的大小关系，普通的排列以$2134$为例
我们以位置为行下标，$b_i$的值为列下标做前缀和数组，那么记录可以将位置和权值拆开的点对叫好的点对
比如$2134$里面的$(2,3)$就是好的，他把$1，4$划分成两段，类似的还有$(1,3)(2,3)(2,4)$（他们反过来也是好的）
那么我们可以直接找到位置 在$(2,3)$之间的权值小于$2$的数的个数 乘 位置在$3$右边的权值大于$3$的数的个数
inline void spj2134(){ for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,1,b[i]-1)*get(j+1,n,b[j]+1,n); }
有两个排列是没有这种好的点对的，比如$2413,3142$，以下拿$2413$举例
这样的我们不能用前缀和，但可以考虑枚举$3$的位置，再枚举它前面的比他权值大的位置充当$4$
然后找$4$前面的比后面数大的个数，考虑用两个树状数组来统计$4$位移带来的影响即可
inline void spj2413(){ for(int i=4;i<=n;++i){ memset(L.tr,0,sizeof(L.tr));memset(R.tr,0,sizeof(R.tr)); int sum=0; for(int j=1;j<i;j++) R.update(b[j],1); for(int j=1;j<i;j++) if(b[j]>b[i]) ans+=sum; else{ sum+=R.query(b[j]-1); sum-=L.query(n)-L.query(b[j]); L.update(b[j],1); R.update(b[j],-1); } } }
$UPD$建议写的时候念叨着写，错误率会降低很多
比如我写的时候就。。。。
我看到了（2，3）。。。我看到了（2，3）。。。我看到了（2，3）。。。我看到了（2，3）。。。
我看到了（1，3）。。。我看到了（1，3）。。。我看到了（1，3）。。。我看到了（1，3）。。。
烦死了旁边的$zxs$，但是我反正是一遍$91$分的。。。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 namespace AE86{ 5 inline int read(){ 6 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 7 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} 8 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f; 9 }inline void write(int x,char opt='\n'){ 10 char ch[20];int len=0;if(x<0)x=~x+1,putchar('-'); 11 do{ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4);x/=10;}while(x); 12 for(int i=len-1;i>=0;--i)putchar(ch[i]);putchar(opt);} 13 }using namespace AE86; 14 const int NN=3005; 15 int a1,a2,a3,a4,b[NN],n,ans,sum[NN][NN]; 16 namespace Tree_array{ 17 struct tree{ 18 int tr[NN]; 19 inline int lowbit(int x){return x&(-x);} 20 inline void update(int x,int v){for(int i=x;i<NN;i+=lowbit(i))tr[i]+=v;} 21 inline int query(int x,int res=0){for(int i=x;i;i-=lowbit(i))res+=tr[i];return res;} 22 }L,R; 23 }using namespace Tree_array; 24 inline int get(int l1,int r1,int l2,int r2){ 25 return sum[r1][r2]-sum[l1-1][r2]-sum[r1][l2-1]+sum[l1-1][l2-1]; 26 } 27 inline void spj1234(){ 28 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,b[i]+1,b[j]-1)*get(j+1,n,b[j]+1,n); 29 } 30 inline void spj1243(){ 31 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,b[j]+1,n)*get(1,i-1,1,b[i]-1); 32 } 33 inline void spj1324(){ 34 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(1,i-1,1,b[j]-1)*get(j+1,n,b[i]+1,n); 35 } 36 inline void spj1342(){ 37 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(1,i-1,1,b[j]-1)*get(i+1,j-1,b[i]+1,n); 38 } 39 inline void spj1423(){ 40 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(1,i-1,1,b[j]-1)*get(j+1,n,b[j]+1,b[i]-1); 41 } 42 inline void spj1432(){ 43 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,b[j]+1,n)*get(j+1,n,b[i]+1,b[j]-1); 44 } 45 inline void spj2134(){ 46 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,1,b[i]-1)*get(j+1,n,b[j]+1,n); 47 } 48 inline void spj2143(){ 49 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,1,b[i]-1)*get(j+1,n,b[i]+1,b[j]-1); 50 } 51 inline void spj2314(){ 52 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(1,i-1,b[j]+1,b[i]-1)*get(j+1,n,b[i]+1,n); 53 } 54 inline void spj2341(){ 55 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,b[i]+1,b[j]-1)*get(j+1,n,1,b[i]-1); 56 } 57 inline void spj2413(){ 58 for(int i=4;i<=n;++i){ 59 memset(L.tr,0,sizeof(L.tr));memset(R.tr,0,sizeof(R.tr)); 60 int sum=0; 61 for(int j=1;j<i;j++) R.update(b[j],1); 62 for(int j=1;j<i;j++) 63 if(b[j]>b[i]) ans+=sum; 64 else{ 65 sum+=R.query(b[j]-1); 66 sum-=L.query(n)-L.query(b[j]); 67 L.update(b[j],1); R.update(b[j],-1); 68 } 69 } 70 } 71 inline void spj2431(){ 72 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,b[j]+1,n)*get(j+1,n,1,b[i]-1); 73 } 74 inline void spj3124(){ 75 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(i+1,j-1,1,b[j]-1)*get(j+1,n,b[i]+1,n); 76 } 77 inline void spj3142(){ 78 reverse(b+1,b+n+1);spj2413(); 79 } 80 inline void spj3214(){ 81 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(i+1,j-1,1,b[i]-1)*get(1,i-1,b[i]+1,b[j]-1); 82 } 83 inline void spj3241(){ 84 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(1,i-1,b[i]+1,b[j]-1)*get(j+1,n,1,b[i]-1); 85 } 86 inline void spj3412(){ 87 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(i+1,j-1,b[i]+1,n)*get(j+1,n,b[j]+1,b[i]-1); 88 } 89 inline void spj3421(){ 90 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(i+1,j-1,b[i]+1,n)*get(j+1,n,1,b[j]-1); 91 } 92 inline void spj4123(){ 93 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(i+1,j-1,1,b[j]-1)*get(j+1,n,b[j]+1,b[i]-1); 94 } 95 inline void spj4132(){ 96 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(1,i-1,b[j]+1,n)*get(j+1,n,b[i]+1,b[j]-1); 97 } 98 inline void spj4213(){ 99 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(1,i-1,b[j]+1,n)*get(i+1,j-1,1,b[i]-1); 100 } 101 inline void spj4231(){ 102 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]<b[j]) ans+=get(1,i-1,b[j]+1,n)*get(j+1,n,1,b[i]-1); 103 } 104 inline void spj4312(){ 105 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(1,i-1,b[i]+1,n)*get(j+1,n,b[j]+1,b[i]-1); 106 } 107 inline void spj4321(){ 108 for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if(b[i]>b[j]) ans+=get(1,i-1,b[i]+1,n)*get(j+1,n,1,b[j]-1); 109 } 110 namespace WSN{ 111 inline short main(){ 112 freopen("c.in","r",stdin); 113 freopen("c.out","w",stdout); 114 n=read(); a1=read(); a2=read(); a3=read(); a4=read(); 115 for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();for(int i=1;i<=n;i++) sum[i][b[i]]=1; 116 for(int i=1;i<=n;i++){ 117 for(int j=1;j<=n;j++) sum[i][j]+=sum[i][j-1]; 118 for(int j=1;j<=n;j++) sum[i][j]+=sum[i-1][j]; 119 } 120 if(a1==1&&a2==2&&a3==3&&a4==4) spj1234(); 121 if(a1==1&&a2==2&&a3==4&&a4==3) spj1243(); 122 if(a1==1&&a2==3&&a3==2&&a4==4) spj1324(); 123 if(a1==1&&a2==3&&a3==4&&a4==2) spj1342(); 124 if(a1==1&&a2==4&&a3==2&&a4==3) spj1423(); 125 if(a1==1&&a2==4&&a3==3&&a4==2) spj1432(); 126 if(a1==2&&a2==1&&a3==3&&a4==4) spj2134(); 127 if(a1==2&&a2==1&&a3==4&&a4==3) spj2143(); 128 if(a1==2&&a2==3&&a3==1&&a4==4) spj2314(); 129 if(a1==2&&a2==3&&a3==4&&a4==1) spj2341(); 130 if(a1==2&&a2==4&&a3==1&&a4==3) spj2413(); 131 if(a1==2&&a2==4&&a3==3&&a4==1) spj2431(); 132 if(a1==3&&a2==1&&a3==2&&a4==4) spj3124(); 133 if(a1==3&&a2==1&&a3==4&&a4==2) spj3142(); 134 if(a1==3&&a2==2&&a3==1&&a4==4) spj3214(); 135 if(a1==3&&a2==2&&a3==4&&a4==1) spj3241(); 136 if(a1==3&&a2==4&&a3==1&&a4==2) spj3412(); 137 if(a1==3&&a2==4&&a3==2&&a4==1) spj3421(); 138 if(a1==4&&a2==1&&a3==2&&a4==3) spj4123(); 139 if(a1==4&&a2==1&&a3==3&&a4==2) spj4132(); 140 if(a1==4&&a2==2&&a3==1&&a4==3) spj4213(); 141 if(a1==4&&a2==2&&a3==3&&a4==1) spj4231(); 142 if(a1==4&&a2==3&&a3==1&&a4==2) spj4312(); 143 if(a1==4&&a2==3&&a3==2&&a4==1) spj4321(); 144 write(ans); 145 return 0; 146 } 147 } 148 signed main(){return WSN::main();}
T4 B关系
咕咕咕，神仙$dp$套$dp$
$UPD 2021.9.29$盯顶着评论区的差评重压继续完成博客
比较神仙，是拍过的。。。（根本无法独立完成）
大概就是在最长公共子序列的$dp$方程式上进行$dp$
发现对于题目的限制$dp[n][n]>=n-2$，它限制了转移只能从$dp[i][i],dp[i-1][i],dp[i][i-1],dp[i-2][i],dp[i][i-2]$这几个状态来转移
不妨设$dp[i][S]$表示考虑了$a,b$数组的前$i$位，状态为$S$的方案数
那么还需要记录$a,b$序列的相等关系，共有四种，还需要记录上述状态的转移值，
然后可以直接搜索出所有状态，因为不多。然后对于每种状态进行转移的赋值，
因为数组空间问题，开的状态结构体里面记录的状态下标以及数值都是差值
1 inline void dfs(int x,int mx){ 2 if(x>4){//1->a[i-1] 2->b[i-1] 3->a[i] 4->b[i] 3 // cout<<p.ab[1]<<" "<<p.ab[2]<<" "<<p.ab[3]<<" "<<p.ab[4]<<endl; 4 int c1=(p.ab[1]==p.ab[4]);//a[i-1]==b[i] 5 int c2=(p.ab[1]==p.ab[2]);//a[i-1]==b[i-1] 6 int c3=(p.ab[3]==p.ab[2]);//a[i]==b[i-1] 7 int c4=(p.ab[3]==p.ab[4]);//a[i]==b[i] 8 p.f[0][2]=p.f[2][0]=2; 9 p.f[1][0]=2-(c1||c2); 10 p.f[0][1]=2-(c3||c2); 11 p.f[0][0]=min(c2&&c4?0ll:2ll,min(min(2ll-(c1||c4),2ll-(c3||c4)),min(p.f[0][1],p.f[1][0]))); 12 int tmp=max(max(p.ab[1],p.ab[2]),max(p.ab[3],p.ab[4])); 13 wy[++cnt]=R*(tmp>1?R-1:1)%mod*(tmp>2?R-2:1)%mod*(tmp>3?R-3:1)%mod*(tmp<=R); 14 st[cnt]=p; mp[p]=cnt; 15 return; 16 } 17 for(int i=1;i<=mx+1;i++) p.ab[x]=i,dfs(x+1,max(mx,i)); 18 }
然后考虑状态数不多，可以进行矩阵优化加速递推（这我无法想到）。
这里解释一下那个$tmp$，他记录的是四种关系的相对大小中最大的那个数，
他恰恰也是这四个数的种类数，那么相应的计算方案数就可以使用字符集减去种类数得到
关于$calc$函数，就是给枚举的新状态进行状态的赋值操作，那个$100ll$纯属个人喜好，赋值比$3$大的数就可以
还是有一些地方不太懂，比如对于矩阵优化的可行性，希望路过的大佬提出高见
但是是拍过的就没什么要不要脸的了
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 namespace AE86{ 5 inline int read(){ 6 int x=0,f=1;char ch=getchar(); 7 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} 8 while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f; 9 }inline void write(int x,char opt='\n'){ 10 char ch[20];int len=0;if(x<0)x=~x+1,putchar('-'); 11 do{ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4);x/=10;}while(x); 12 for(int i=len-1;i>=0;--i)putchar(ch[i]);putchar(opt);} 13 }using namespace AE86; 14 const int MM=200,mod=998244353; 15 int n,R,cnt,wy[MM]; 16 namespace Matrix{ 17 struct Ma{ 18 int m[MM][MM]; 19 Ma(){memset(m,0,sizeof(m));} 20 inline void pre(){for(int i=1;i<=cnt;i++)m[i][i]=1;} 21 inline void print(){ for(int i=1;i<=cnt;i++){for(int j=1;j<=cnt;j++){cout<<m[i][j]<<" ";} cout<<endl;} } 22 }; 23 inline Ma mul(Ma a,Ma b){ 24 Ma c; for(int i=1;i<=cnt;i++) for(int j=1;j<=cnt;j++) for(int k=1;k<=cnt;k++) 25 (c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod)%=mod; return c; 26 } 27 inline Ma qmo(Ma a,int b){ 28 Ma c; c.pre();while(b){if(b&1) c=mul(c,a);b>>=1; a=mul(a,a);} return c; 29 } 30 }using namespace Matrix; 31 32 struct sta{ 33 int f[3][3],ab[5]; 34 inline void discrete(){ 35 int has=0,mp[15]={}; 36 for(int i=1;i<=4;i++){ 37 if(!mp[ab[i]]) mp[ab[i]]=++has; 38 ab[i]=mp[ab[i]]; 39 } 40 } 41 inline sta calc(int x,int y){//1->a[i-1] 2->b[i-1] 3->a[i] 4->b[i] 42 sta ti=(sta){{{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}},{0,ab[3],ab[4],x,y}}; 43 ti.discrete(); 44 ti.f[2][0]=min(ab[1]==y?f[2][0]:100ll,f[1][0]+1); 45 ti.f[0][2]=min(ab[2]==x?f[0][2]:100ll,f[0][1]+1); 46 ti.f[1][0]=min(ab[3]==y?f[1][0]:100ll,min(f[0][0]+1,ti.f[2][0])); 47 ti.f[0][1]=min(ab[4]==x?f[0][1]:100ll,min(f[0][0]+1,ti.f[0][2])); 48 ti.f[0][0]=min(x==y?f[0][0]:100ll,min(ti.f[0][1],ti.f[1][0])); 49 return ti; 50 } 51 bool operator<(const sta& x)const{ 52 for(int i=0;i<=2;i++){ 53 if(f[i][0]!=x.f[i][0]) return f[i][0]<x.f[i][0]; 54 if(f[0][i]!=x.f[0][i]) return f[0][i]<x.f[0][i]; 55 } 56 for(int i=1;i<=4;i++) 57 if(ab[i]!=x.ab[i]) return ab[i]<x.ab[i]; 58 return 0; 59 } 60 }st[MM],p; 61 map<sta,int> mp; 62 63 inline void dfs(int x,int mx){ 64 if(x>4){//1->a[i-1] 2->b[i-1] 3->a[i] 4->b[i] 65 // cout<<p.ab[1]<<" "<<p.ab[2]<<" "<<p.ab[3]<<" "<<p.ab[4]<<endl; 66 int c1=(p.ab[1]==p.ab[4]);//a[i-1]==b[i] 67 int c2=(p.ab[1]==p.ab[2]);//a[i-1]==b[i-1] 68 int c3=(p.ab[3]==p.ab[2]);//a[i]==b[i-1] 69 int c4=(p.ab[3]==p.ab[4]);//a[i]==b[i] 70 p.f[0][2]=p.f[2][0]=2; 71 p.f[1][0]=2-(c1||c2); 72 p.f[0][1]=2-(c3||c2); 73 p.f[0][0]=min(c2&&c4?0ll:2ll,min(min(2ll-(c1||c4),2ll-(c3||c4)),min(p.f[0][1],p.f[1][0]))); 74 int tmp=max(max(p.ab[1],p.ab[2]),max(p.ab[3],p.ab[4])); 75 wy[++cnt]=R*(tmp>1?R-1:1)%mod*(tmp>2?R-2:1)%mod*(tmp>3?R-3:1)%mod*(tmp<=R); 76 st[cnt]=p; mp[p]=cnt; 77 return; 78 } 79 for(int i=1;i<=mx+1;i++) p.ab[x]=i,dfs(x+1,max(mx,i)); 80 } 81 Ma base; int *it; 82 inline void prework(){ 83 for(int t=1;t<=cnt;t++){ 84 p=st[t]; int tmp=max(max(p.ab[1],p.ab[2]),max(p.ab[3],p.ab[4])); 85 for(int i=1;i<=tmp+1;i++) for(int j=1;j<=tmp+1||j<=i+1;j++){ 86 sta pp=p.calc(i,j); if(pp.f[0][0]>2) continue; 87 it=&mp[pp]; 88 if((*it)==0) *it=++cnt,st[cnt]=pp; 89 int res=0; 90 if(i>tmp && j>i) res=max(0ll,R-tmp)*(R-i)%mod; 91 else if(i>tmp||j>tmp) res=max(0ll,R-tmp); 92 else res=(tmp<=R); 93 (base.m[t][*it]+=res)%=mod; 94 } 95 } 96 } 97 namespace WSN{ 98 inline short main(){ 99 freopen("d.in","r",stdin); 100 freopen("d.out","w",stdout); 101 n=read(); R=read(); if(n==1) {printf("%lld\n",R*R%mod);return 0;} 102 dfs(1,0); prework(); 103 Ma ans=qmo(base,n-2);int wsn=0; 104 for(int i=1;i<=cnt;i++) if(wy[i]){ 105 for(int j=1;j<=cnt;j++) (wsn+=wy[i]*ans.m[i][j]%mod)%=mod; 106 } 107 write(wsn); 108 return 0; 109 } 110 } 111 signed main(){return WSN::main();}
