Noip模拟18 2021.7.17 （文化课专场）
T1 导弹袭击（数学）
显然，我们要找到最优的A,B使得一组a，b优于其他组那么可以列出：
$\frac{A}{a_i}+\frac{B}{b_i}<\frac{A}{a_j}+\frac{B}{b_j}$
然后化简可得：
$-\frac{A}{B}<\frac{\frac{1}{b_i}-\frac{1}{b_j}}{\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}}$
就是裸斜率式
考场上想到维护凸包，但并未打出。。。
正解还要有好多预先步骤，用经典指针+经典排序扫描将显然不能成为最优的导弹去掉
1.a一样而b不是最大的
2.b一样而a不是最大的
3.有一组是a，b均大于另一组a，b的
扫描过后用单调栈维护斜率为负的单调递增的左下凸包即可
注意的就是将斜率式化简通分，否则大数据值过小而无法判断
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define LD long double 3 using namespace std; 4 inline int read(){ 5 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 6 while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 7 while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } 8 return x*f; 9 } 10 const int NN=3e5+5,inf=0x7fffffff; 11 int n,top; bool vis[NN]; 12 struct point{ 13 LD x,y;int id; 14 friend bool operator<(point a,point b){return a.x==b.x? a.y<b.y:a.x>b.x;} 15 };point p[NN],sta[NN]; 16 struct SNOW{int a,b,tag,id;}s[NN]; 17 inline bool cmp1(SNOW x,SNOW y){return x.a==y.a?x.b>y.b:x.a>y.a;}//以a排列 18 inline bool cmp2(SNOW x,SNOW y){return x.b==y.b?x.a>y.a:x.b>y.b;}//以b排列 19 inline bool cmp3(SNOW x,SNOW y){return x.a==y.a?x.b>y.b:x.a<y.a;} 20 inline LD calc(point p1,point p2){return (p1.x*p2.x)/(p1.y*p2.y)*((p1.y-p2.y)/(p1.x-p2.x));} 21 vector<int> kin[NN]; 22 inline void pai_a(){ 23 sort(s+1,s+n+1,cmp1); int pp=s[1].a,i=1,maxn=s[1].b; 24 while(i<=n){ 25 int j=1; while(pp==s[i+j].a){ 26 if(s[i+j].b!=s[i].b) s[i+j].tag=1; 27 if(maxn<s[i+j].b) maxn=s[i+j].b; 28 if(s[i+j].b<maxn) s[i+j].tag=1; 29 j++; 30 } 31 if(maxn<s[i].b) maxn=s[i].b; 32 if(s[i].b<maxn) s[i].tag=1; 33 pp=s[(i=i+j)].a; 34 } 35 } 36 inline void pai_b(){ 37 sort(s+1,s+n+1,cmp2); int pp=s[1].b,i=1,maxn=s[1].a; 38 while(i<=n){ 39 int j=1; while(pp==s[i+j].b){ 40 if(s[i+j].a!=s[i].a) s[i+j].tag=1; 41 if(maxn<s[i+j].a) maxn=s[i+j].a; 42 if(s[i+j].a<maxn) s[i+j].tag=1; 43 j++; 44 } 45 if(maxn<s[i].a) maxn=s[i].a; 46 if(s[i].a<maxn) s[i].tag=1; 47 pp=s[(i=i+j)].b; 48 } 49 } 50 inline int getrange(int x){ 51 sort(s+1,s+n+1,cmp3); int i=1,pp=s[1].a; 52 while(i<=n){ 53 if(s[i].a==inf) break; 54 int j=1; while(pp==s[i+j].a){ 55 kin[s[i].id].push_back(s[i+j].id); 56 s[i+j].a=s[i+j].b=inf; 57 j++; 58 } 59 pp=s[(i=i+j)].a; 60 } x=--i; 61 sort(s+1,s+x+1,cmp3); 62 i=1; while(i<=x){ 63 if(s[i].a==inf) break; 64 i++; 65 } x=--i; 66 return x; 67 } 68 namespace WSN{ 69 inline int main(){ 70 n=read(); int tot=n; 71 for(int i=1;i<=n;i++) s[i].a=read(),s[i].b=read(),s[i].id=i; 72 pai_a(); pai_b(); 73 for(int i=1;i<=n;i++) if(s[i].tag==1) s[i].a=s[i].b=inf; 74 n=getrange(n); 75 for(int i=1;i<=n;i++) p[i].x=(LD)s[i].a,p[i].y=(LD)s[i].b,p[i].id=s[i].id; 76 sort(p+1,p+n+1); top=2; sta[1]=p[1]; sta[2]=p[2]; 77 for(int i=3;i<=n;i++){ 78 while(top>1&&(calc(sta[top],sta[top-1])>calc(p[i],sta[top-1]))) top--; 79 sta[++top]=p[i]; 80 } 81 for(int i=1;i<=top;i++){ 82 vis[sta[i].id]=1; 83 for(int j=0;j<kin[sta[i].id].size();j++) vis[kin[sta[i].id][j]]=1; 84 } 85 for(int i=1;i<=tot;i++) if(vis[i]) printf("%d ",i); 86 return 0; 87 } 88 } 89 signed main(){return WSN::main();}
T2 炼金术士的疑惑
输入直接看傻，然后一看高斯消元板子不会就直接跳了。
不过自认为这题除了输入比较miao以外没啥难的
想到将方程式所有的元素移到左侧，变符号，那么一列一列消元
最后剩下的一列得出的答案便是最后一个反应的焓变（性感理解一下）
技巧：
1.使用map去掉重复元素
2.根据读入字符进行添加行列式项
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 inline int read(){ 4 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 5 while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 6 while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } 7 return x*f; 8 } 9 int n,cnt; 10 double a[205][205]; 11 map<string,int> has; 12 inline void init(){ 13 n=read(); 14 string chm,opt; 15 bool flag=0; 16 double x; 17 for(int i=1;i<=n;i++){ 18 flag=0; 19 while(1){ 20 cin>>x>>chm>>opt; 21 if(!has[chm]) has[chm]=++cnt; 22 a[i][has[chm]]=flag?-x:x; 23 if(opt[0]=='=') flag=1; 24 if(opt[0]=='H'){ 25 cin>>a[i][201]; 26 break; 27 } 28 } 29 } 30 ++n; flag=0; 31 while(1){ 32 cin>>x>>chm>>opt; 33 if(!has[chm]) has[chm]=++cnt; 34 a[n][has[chm]]=flag?-x:x; 35 if(opt[0]=='=') flag=1; 36 if(opt[0]=='H'){ 37 cin>>opt; 38 break; 39 } 40 } 41 for(int i=1;i<=n;i++) 42 a[i][cnt+1]=a[i][201]; 43 } 44 inline void guass(){ 45 int num=1; 46 for(int i=1;i<=cnt;i++){ 47 int r=num; 48 for(int j=num;j<n;j++) 49 if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j; 50 if(fabs(a[r][i])<1e-10) continue; 51 for(int j=i;j<=cnt+1;j++) swap(a[r][j],a[num][j]); 52 for(int j=cnt+1;j>=i;j--) a[num][j]/=a[num][i]; 53 for(int j=num+1;j<=n;j++) 54 if(fabs(a[j][i])>1e-10) 55 for(int k=cnt+1;k>=i;k--) a[j][k]-=a[num][k]*a[j][i]; 56 num++; 57 } 58 } 59 namespace WSN{ 60 inline int main(){ 61 init(); 62 guass(); 63 if(fabs(a[n][cnt+1])<0.05) puts("0.0"); 64 else printf("%.1lf",-a[n][cnt+1]); 65 return 0; 66 } 67 } 68 signed main(){return WSN::main();}
T3 老司机的狂欢
题目第一问在问老司机不撞车的最大时间，
可以二分判断在当前时间下成立与否，左右端点确定
判断可以将其看作一段序列，在进行了t时间移动后这段序列的最长上升子序列是否大于k
那么我们用数状数组快速求出最长上升子序列长度判断即可
第二问就比较牛皮
我们知道最优时间以后进行二次判断，如果当前上升序列的个数大于k直接判断老司机造反
剩下的我们需要求字典序最小方案
把它看作一个树形结构，每个节点的父亲表示其最优转移方案，这样的话使用倍增思想建树
查询过程与求LIS类似，只是多增加一个编号的维护，minn和fa分别为维护最小编号的数组和第$2^i$级爹
再就是miin函数的返还值问题
技巧：
1.数状数组优化求LIS
2.倍增建树及LIS编号维护
3.二分答案
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 #define pii pair<int,int> 4 using namespace std; 5 const int NN=700005,inf=1e18+5; 6 int n,k; 7 int tr[NN]; 8 int a[NN],dis[NN],new_n; 9 int anss,fa[NN][21],minn[NN][21]; 10 int con[NN]; 11 pii t[NN]; 12 //pair中存储的first表示值，second表示编号 13 //fa，minn数组表示的内容都是编号间的关系，minn是维护最小编号用的 14 struct node{ 15 int x,a,id; 16 friend bool operator<(node m,node n){return m.x<n.x;} 17 };node d[NN]; 18 inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;} 19 inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} 20 inline int lowbit(int x){return x&(-x);} 21 inline void update(int x,int val){for(int i=x;i<=new_n;i+=lowbit(i)) tr[i]=max(tr[i],val);} 22 inline int query(int x){int ans=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) ans=max(ans,tr[i]);return ans;} 23 inline bool check(int t){ 24 memset(tr,0,sizeof(tr)); 25 for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=a[i]=2*d[i].x+d[i].a*t*t; 26 sort(dis+1,dis+n+1); new_n=unique(dis+1,dis+n+1)-dis-1; 27 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(dis+1,dis+new_n+1,a[i])-dis; 28 for(int i=1;i<=n;i++) update(a[i],query(a[i]-1)+1); 29 anss=query(new_n); 30 return anss>=k; 31 } 32 33 inline bool miin(pii a,pii b){ 34 if(a.first!=b.first) return a.first<b.first; 35 int mina=a.second,minb=b.second; 36 int x=a.second,y=b.second; 37 for(int i=20;i>=0;i--){ 38 if(fa[x][i]!=fa[y][i]){ 39 mina=min(mina,minn[x][i]); 40 minb=min(minb,minn[y][i]); 41 x=fa[x][i]; y=fa[y][i]; 42 } 43 } 44 return mina>minb; 45 } 46 inline void build(int x,int f){ 47 fa[x][0]=minn[x][0]=f; 48 for(int i=1;i<=20;i++){ 49 fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; 50 minn[x][i]=min(minn[fa[x][i-1]][i-1],minn[x][i-1]); 51 } 52 } 53 inline void merge(int x,pii val){ 54 for(int i=x;i<=new_n;i+=lowbit(i)) 55 if(miin(t[i],val)) t[i]=val; 56 } 57 inline pii search(int x){ 58 pii ans=make_pair(0,0); 59 for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) 60 if(miin(ans,t[i])) ans=t[i]; 61 return ans; 62 } 63 namespace WSN{ 64 inline int main(){ 65 // freopen("1.in","r",stdin); 66 scanf("%lld%lld",&n,&k); 67 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&d[i].x,&d[i].a),d[i].id=i; 68 sort(d+1,d+n+1); 69 int l=0,r=86400,ans=l; 70 while(l<=r){ 71 int mid=l+r>>1; 72 if(check(mid)) ans=mid,l=mid+1; 73 else r=mid-1; 74 } 75 printf("%lld\n",ans); check(ans); 76 if(anss>k) {printf("-1\n");return 0;} 77 for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=a[i]=2*d[i].x+d[i].a*ans*ans; 78 sort(dis+1,dis+n+1); new_n=unique(dis+1,dis+n+1)-dis-1; 79 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(dis+1,dis+new_n+1,a[i])-dis; 80 // for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" "<<d[i].id<<endl; 81 for(int i=1;i<=n;i++){ 82 pii now=search(a[i]-1); 83 build(d[i].id,now.second); 84 merge(a[i],make_pair(now.first+1,d[i].id)); 85 } 86 int wsn=search(new_n).second; 87 for(int i=1;i<=k;i++){ 88 con[i]=wsn; 89 wsn=fa[wsn][0]; 90 } 91 sort(con+1,con+k+1); 92 for(int i=1;i<=k;i++) printf("%lld\n",con[i]); 93 return 0; 94 } 95 } 96 signed main(){return WSN::main();}
