Noip模拟15 2021.7.14
T1 夜莺与玫瑰
题目越发的变态起来。。。
这题刚开始看超级像仪仗队，好不容易码完欧拉函数后尝试×2后输出但不对！！
于是选择了跳过。。。。
正解居然是莫比乌斯函数。。。。我也是醉了
预处理完就剩下$O(1)$求解然而我做不到。。
于是打了超级恶心的前缀和$O(n^2)$预处理以及$O(Tn)$求解。
（多亏JYFHYX想到的手摸数组辗转相除超吊好吧）。
竟然还可以定义short数组防止MLE，小马长见识了。
先考虑到柿子：
$\sum_{a=1}^{n-1}\sum_{b-1}^{m-1}[gcd(a,b)==1]((n-a)(m-b)-max(n-2a,0)*max(m-2b,0))$
证明的话考虑原本筛到（a，b）点，
那么对于（1，1）到（a，b）的矩形每一个点以自己的a/b斜率向下划线作出的贡献是$(n-a)(m-b)$
然后向下再拓展出一个相同的矩形，
这个矩形与先前的那个矩形作出的贡献一样，则减去（前提保证斜率唯一特殊性，即gcd为1）
然后把括号拆开，发现一些不变的东西，
提取公因数之后发现可以维护三个前缀和（short开两个，剩下一个开int不会炸）
一个$prime_{i,j}$表示1～j中与i互质的数的个数（单为i那一层的）
一个$gcd_{i,j}$表示gcd为1的个数
一个$sum_{i,j}$表示1～j所有与i互质的数的和（单维护i那一层的）
然后通过化简的柿子算就行.
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 inline int read(){ 4 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 5 while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 6 while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } 7 return x*f; 8 } 9 const int NN=4005,p=1073741824; 10 int T; 11 int sum[NN][NN]; 12 short gcd[NN][NN],prime[NN][NN]; 13 inline void pre(short n){ 14 for(short i=1;i<=n;i++){ 15 gcd[i][i]=gcd[i][0]=gcd[0][i]=i; 16 for(short j=1;j<i;j++) 17 gcd[i][j]=gcd[j][i]=gcd[j][i%j]; 18 } 19 for(short i=1;i<=n;i++){ 20 for(short j=1;j<=n;j++){ 21 prime[i][j]=prime[i][j-1]; 22 sum[i][j]=sum[i][j-1]; 23 if(gcd[i][j]==1){ 24 prime[i][j]++; 25 sum[i][j]+=j; 26 } 27 } 28 } 29 } 30 namespace WSN{ 31 inline int main(){ 32 pre(4000); 33 // FILE *A=freopen("1.in","r",stdin); 34 T=read(); 35 while(T--){ 36 short n=read(),m=read(); 37 long long ans=0; 38 for(short i=1;i<n;i++){ 39 (ans+=(n-i)*((long long)prime[i][m-1]*m%p-sum[i][m-1]+p))%=p; 40 if(2*i<n) 41 ((ans-=(long long)(n-2*i)*(prime[i][m/2]*m%p-2*sum[i][m/2]%p))+=p)%=p; 42 } 43 printf("%lld\n",(ans*2+n+m+p)%p); 44 } 45 return 0; 46 } 47 } 48 signed main(){return WSN::main();}
T2 影子
此题非常之离谱，不过$n^2$暴力超好打
正解是个并查集。
先跑树链剖分，把权值排序从大到小
遍历节点将其看作一个集合并将其与所有已经vis过的儿子merge出新的集合，
同时考虑六种情况，因为并查集维护了一个最长路，则有维护构成最长路的两个端点
分别考虑两个集合的不同端点连边构成最长（4种），原来的两个集合本身就有一个是新的最长（2种）
暴力枚举情况即可。最后用这个维护好的和遍历到的点权值相乘最小值即为答案。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 inline int read(){ 5 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 6 while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 7 while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } 8 return x*f; 9 } 10 const int NN=550000; 11 int T,n; 12 int son[NN],fa[NN],dep[NN],siz[NN],top[NN],dis[NN]; 13 struct snow{int val,id;};snow d[NN]; 14 inline bool cmp(snow a,snow b){return a.val>b.val;} 15 struct SNOW{int to,val,next;};SNOW e[NN]; int head[NN],rp; 16 struct node{int st,ed,len,fa;};node s[NN]; 17 bool vis[NN]; 18 inline void add(int x,int y,int z){e[++rp]=(SNOW){y,z,head[x]}; head[x]=rp;} 19 inline void dfs1(int f,int x){ 20 dep[x]=dep[f]+1; siz[x]=1; fa[x]=f; 21 for(int i=head[x];i;i=e[i].next){ 22 int y=e[i].to; 23 if(y==f) continue; 24 dis[y]=dis[x]+e[i].val; 25 dfs1(x,y); 26 siz[x]+=siz[y]; 27 if(siz[son[x]]<siz[y]) son[x]=y; 28 } 29 } 30 inline void dfs2(int x,int t){ 31 top[x]=t; 32 if(!son[x]) return; dfs2(son[x],t); 33 for(int i=head[x];i;i=e[i].next){ 34 int y=e[i].to; 35 if(y!=fa[x]&&y!=son[x]) dfs2(y,y); 36 } 37 } 38 inline int LCA(int x,int y){ 39 while(top[x]!=top[y]){ 40 if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y); 41 x=fa[top[x]]; 42 }if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y); 43 return x; 44 } 45 inline int getfa(int x){return s[x].fa==x?x:getfa(s[x].fa);} 46 inline void merge(int x,int y){ 47 x=getfa(x),y=getfa(y); s[y].fa=x; 48 //不要直接定义新值，要不然会连不上边，merge后面的操作都是与fx，fy有关的！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 49 int stx=s[x].st,sty=s[y].st,edx=s[x].ed,edy=s[y].ed; 50 int dis1=dis[stx]+dis[sty]-2*dis[LCA(stx,sty)]; 51 int dis2=dis[stx]+dis[edy]-2*dis[LCA(stx,edy)]; 52 int dis3=dis[edx]+dis[sty]-2*dis[LCA(edx,sty)]; 53 int dis4=dis[edx]+dis[edy]-2*dis[LCA(edx,edy)]; 54 int dis5=s[y].len,dis6=s[x].len; 55 s[x].len=max(dis1,max(dis2,max(dis3,max(dis4,max(dis5,dis6))))); 56 // cout<<s[x].len<<endl; 57 if(s[x].len==dis1){s[x].ed=sty;return;} 58 if(s[x].len==dis2){s[x].ed=edy;return;} 59 if(s[x].len==dis3){s[x].st=sty;return;} 60 if(s[x].len==dis4){s[x].st=edy;return;} 61 if(s[x].len==dis5){s[x].st=sty; s[x].ed=edy;return;} 62 } 63 namespace WSN{ 64 inline int main(){ 65 // FILE *A=freopen("1.in","r",stdin); 66 // FILE *B=freopen("1.out","w",stdout); 67 T=read(); 68 while(T--){ 69 n=read(); 70 int ans=0; 71 for(int i=1;i<=n;i++){ 72 d[i].val=read(); 73 d[i].id=i; s[i].fa=i; 74 } 75 for(int i=1;i<n;i++){ 76 int u=read(),v=read(),w=read(); 77 add(u,v,w); add(v,u,w); 78 } 79 dfs1(0,1); dfs2(1,1); 80 sort(d+1,d+n+1,cmp); 81 for(int i=1;i<=n;i++){ 82 int nd=d[i].id,vv=d[i].val; 83 vis[nd]=1; s[nd].st=s[nd].ed=nd; 84 s[nd].len=0; 85 for(int j=head[nd];j;j=e[j].next){ 86 int to=e[j].to; 87 if(vis[to]&&getfa(nd)!=getfa(to)) merge(nd,to); 88 } 89 ans=max(ans,vv*s[getfa(nd)].len); 90 } 91 printf("%lld\n",ans); 92 rp=0; for(int i=1;i<=n;i++) head[i]=0,dis[i]=0,son[i]=0,vis[i]=0; 93 memset(s,0,sizeof(s)); memset(d,0,sizeof(d)); 94 } 95 return 0; 96 } 97 } 98 signed main(){return WSN::main();}
T3 玫瑰花精
看这题时给我的时间已经不多了，虽然看出跟hotel那题差不多但是没空阁哪里扣线段树了。
线段树中维护四个量。分别为在区间内最左，最右的花精位置，中间点，花精应放置的最优位置，
剩下的思路清晰，线段树板子一打。就剩下pushdown搁哪里空着啥也不会。。
考虑n种情况，其实先预先画个图，把维护的东西标识清楚情况自然出来了，剩下的代码也好理解。
1 void pushup(int id){ 2 le[id]=le[lid]?le[lid]:le[rid]; 3 ri[id]=ri[rid]?ri[rid]:ri[lid]; 4 if(!le[lid]){mi[id]=mi[rid];po[id]=po[rid];return;} 5 if(!le[rid]){mi[id]=mi[lid];po[id]=po[lid];return;} 6 int cmo=(le[rid]-ri[lid])>>1; 7 int an=max(cmo,max(mi[lid],mi[rid])); 8 if(an==mi[lid]){mi[id]=mi[lid]; po[id]=po[lid];return;} 9 else if(an==cmo){mi[id]=cmo; po[id]=(le[rid]+ri[lid])>>1;return;} 10 else{mi[id]=mi[rid]; po[id]=po[rid];return;} 11 }
纤细的pushdown。。。
$fairy[x]$记录花精x的位置，注意输出时判断的三种情况。如果树是空树直接输出1。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define lid (id<<1) 3 #define rid (id<<1|1) 4 using namespace std; 5 inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} 6 inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;} 7 inline int read(){ 8 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 9 while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 10 while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } 11 return x*f; 12 } 13 const int NN=3000000,inf=0x7fffffff; 14 int n,m,fairy[NN]; 15 struct SNOWtree{ 16 int ll[NN<<2],rr[NN<<2]; 17 int le[NN<<2],ri[NN<<2],mi[NN<<2],po[NN<<2]; 18 void pushup(int id){ 19 le[id]=le[lid]?le[lid]:le[rid]; 20 ri[id]=ri[rid]?ri[rid]:ri[lid]; 21 if(!le[lid]){mi[id]=mi[rid];po[id]=po[rid];return;} 22 if(!le[rid]){mi[id]=mi[lid];po[id]=po[lid];return;} 23 int cmo=(le[rid]-ri[lid])>>1; 24 int an=max(cmo,max(mi[lid],mi[rid])); 25 if(an==mi[lid]){mi[id]=mi[lid]; po[id]=po[lid];return;} 26 else if(an==cmo){mi[id]=cmo; po[id]=(le[rid]+ri[lid])>>1;return;} 27 else{mi[id]=mi[rid]; po[id]=po[rid];return;} 28 } 29 void build(int id,int l,int r){ 30 ll[id]=l; rr[id]=r; 31 if(l==r) return; 32 int mid=(l+r)>>1; 33 build(lid,l,mid); build(rid,mid+1,r); 34 } 35 void update(int id,int pos){ 36 if(ll[id]==rr[id]){ 37 le[id]=ri[id]=pos; 38 mi[id]=po[id]=0; 39 return; 40 } 41 int mid=(ll[id]+rr[id])>>1; 42 if(pos<=mid) update(lid,pos); 43 else update(rid,pos); 44 pushup(id); 45 } 46 void dele(int id,int pos){ 47 if(ll[id]==rr[id]){ 48 le[id]=ri[id]=mi[id]=po[id]=0; 49 return; 50 } 51 int mid=(ll[id]+rr[id])>>1; 52 if(pos<=mid) dele(lid,pos); 53 else dele(rid,pos); 54 pushup(id); 55 } 56 }tr; 57 namespace WSN{ 58 inline int main(){ 59 // FILE *A=freopen("1.in","r",stdin); 60 // FILE *B=freopen("1.out","w",stdout); 61 n=read();m=read(); 62 tr.build(1,1,n); 63 for(int i=1;i<=m;i++){ 64 int opt=read(),x=read(); 65 if(opt==1){ 66 // cout<<tr.le[1]-1<<" "<<tr.mi[1]<<" "<<n-tr.ri[1]<<endl; 67 // for(int j=1;j<=n*4;j++) if(tr.ll[j]) 68 // cout<<tr.ll[j]<<" "<<tr.rr[j]<<" "<<tr.le[j]<<" "<<tr.ri[j]<<" "<<tr.mi[j]<<endl; 69 if(!tr.le[1]){ 70 tr.update(1,1); 71 puts("1"); fairy[x]=1; 72 continue; 73 } 74 else{ 75 int an=max(tr.le[1]-1,max(n-tr.ri[1],tr.mi[1])); 76 if(an==tr.le[1]-1){ 77 puts("1"); 78 fairy[x]=1; 79 tr.update(1,1); 80 continue; 81 } 82 else if(an==tr.mi[1]){ 83 printf("%d\n",tr.po[1]); 84 fairy[x]=tr.po[1]; 85 tr.update(1,tr.po[1]); 86 continue; 87 } 88 else{ 89 printf("%d\n",n); 90 fairy[x]=n; 91 tr.update(1,n); 92 continue; 93 } 94 } 95 } 96 if(opt==2){ 97 tr.dele(1,fairy[x]); 98 fairy[x]=0; 99 continue; 100 } 101 } 102 return 0; 103 } 104 } 105 signed main(){return WSN::main();}
