树 题解

树 题解

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这题好像有不少有意思的卡常小技巧，顺便熟悉一下 burnside 引理

Burnside 引理

直接上 Burnside 可以发现，答案是 $\frac{1}{n}=\sum _{i=0}^{n-1}w(i)$ 这里 $w(i)$ 是指转 $i$ 个数之后和自己等价的组合类个数

修改 $w(i)$ 的定义为具有 $d|i$ 长度的循环节的合法生成树个数，容易发现答案为 $\frac{1}{n}=\sum _{i=0}^{n-1}w(gcd(i,n))$

也就是 $\frac{1}{n}=\sum _i\sum _{d|n}w(d)[gcd(i,n)=d]$ 交换枚举顺序，转而考虑对于每个 $d$ 有多少个合法的 $i$

$\frac{1}{n}\sum _{d|n}w(d)\sum _i[gcd(i/d,n/d)=1]=\frac{1}{n}\sum _{d|n}w(d)\varphi (\frac{n}{d})$

以上都是显然的

考虑如何计算 $w(d)$，发现就是轮子的生成树个数，这是简单的，有一个显然的 dp，写成矩阵形式有一个四阶的递推形式

简单消元之后发现其实没有那么长，只是 $w_n=3w_{n-1}-w_{n-2}+2$

这时候可以写成 $3\times 3$ 的矩阵了，差分一下变成齐次的直接 bostan-mori 感觉就过了，但是考虑继续优化

设 $f_n=w_n+k$，$f_n=3f_{n-1}-f_{n-2}$，容易解得 $k=2$，直接求 $f$ 即可，矩阵大小是 $2\times 2$ 的，卡常即可通过此题

莫反

考虑最上面 Burnside 引理部分我们得出的式子，也就是 "显然" 的那一部分，直觉告诉我们这个结论可以由容斥导出，考虑暴力莫反而不使用 Burnside 引理

设 $f(i)$ 为最小循环节长度为 $i$ 的方案数，$g(i)$ 为存在循环节长度为 $i$ 的方案数

则有 $g(i)=\sum _{d|i}f(d)$，莫反一下得到 $f(i)=\sum _{d|i}g(d)\mu (\frac{i}{d})$

答案是 $\frac{1}{n}\sum _{i|n}f(i)\frac{n}{i}=\frac{1}{n}\sum \frac{n}{i}\sum _{d|i}g(d)\mu (\frac{i}{d})$

交换求和顺序就能知道这是 $\frac{1}{n}\sum _{d|n}g(d)\varphi (\frac{n}{d})$

容易发现这部分所说的 $g$ 与上一部分中的 $w$ 含义完全相同