模拟赛下半
模拟赛下半
那一天她离我而去
板子，写写吧
发现一个暴力是断掉源点周围若干边之后跑最短路，发现只要让最小环上的两条边不同时被断开就好了，考虑到两个数不同，二进制必有一位不同，所以按照编号的二进制位分组就好了，复杂度 \(O(m\log m\log n)\)
考虑一个更优秀的做法，建出最短路树（其实就是断掉最短路dag里面的一些边），发现只要枚举非树边，如果这条边两边的结点lca就是源点，直接更新答案就好了，复杂度 \(O(m\log m)\)
单调区间
不会 \(O(n)\)，写个 \(O(n\log n)\)
首先肯定是扫描线，对每个左端点算能扩展到的最大右端点
发现可以在值域中画出两条直线代表这两个序列，在它们交点之后才有可能扩展不到，再仔细观察一下：
只有 中小大中 中大小中 两种才可能满足这玩意
开个值域树状数组，一边扫一边维护最后一个大于/小于某个数出现位置的数就好了，发现就是前缀 \(\max\)
Kanon
水题，但是想写
发现每个雪球不可能超过前面的，所以直接思考如何确定中间的雪归谁
前缀和出来之后二分就完了
Summer Pockets
赛时想到了，结果没写上
考虑先放一个方向上的栅栏，发现分割成的区域里蝴蝶数量一定都是一样的，因为这些区域内部的最终连通块数量一定一样
所以我们可以直接把蝴蝶排序，枚举蝴蝶数量的约数，之后确定这一边的合法方案数，对于另一个方向，也是每个栅栏可以放置的区间满足两两不交，暴力做就好了
发现后面的暴力卡满是 \(O(n^2)\) 的，前面枚举约数是 \(O(\sqrt n)\) 的，所以复杂度大概是这个样子，加上这两边都根本跑不满，所以快得飞起
穗
ynoi 题
考虑单点怎么做，显然带修莫队和分块都能肆意水过，就是维护一个 pre
考虑我们实际上查询的是什么 \(pre<l\) 并且 \(l<pl<r\) 的数个数，这不是二维数点么，加上修改，就是三维数点
发现根据颜色段均摊原理，pre 数组和修改颜色块次数一样，是 \(O(m)\) 的
于是变成了三维偏序板子，CDQ就能做到 \(O(n\log^2n)\)
Non-breath oblige
又是 ynoi 题
先不带交换操作，
就是说对于一个询问，只有最近的一次影响到它的推平会有贡献，所以我们直接记录一下那个推平的时间戳
现在要求的是 \(tm>L\)，\(L\le pl \le R\) 的点权和，二维数点即可
考虑加上之后怎么做，线段树单点修改就完了
妄想感伤代偿联盟
类似于把两个串拼起来求个 border，之后和串长取 \(\min\)
容易联想到AC自动机，之后从需要后缀的串跳 fail 指针，相当于把这个和需要前缀的链取交，暴力跳fail \(O(n)\)，之后如果树剖链上 \(\max\) 就是 \(O(n\log^2 n)\) 的
考虑优化，发现因为权值是深度，所以权值单调，又因为一个点会对子树产生贡献，所以区间推平单点查询就好了，复杂度 \(O(n\log n)\)
法阵
写了再说
连通块
是经典结论，一个点最远距离必是直径一个端点，所以等价于求直径，又因为直径可以合并，做完了
军队
开局那个是矩形加，扫描线一下，变成区间加全局查排名
这玩意可以根号做，但是因为查的数非常小，所以索性直接用线段树维护前 \(k\) 大的值以及个数，复杂度 \(O(km \log n)\)
然后对于查询，发现只需要记录比较小的一种性别，之后对能不能取到最值分治就好了，随便拆个式子，离线下来复杂度就是 \(O(n)\)，在线复杂度带个二分的 \(\log\)
棋盘
不会
Wallpaper Collection
首先把那一坨不知道什么东西的限制翻译成人话，就是相邻两行选择的区间必须有交，考虑朴素 dp
设 \(dp_{i,j,k}\) 表示选到了第 \(i\) 行，选了 \([j,k]\) 的最大价值和
容易写出方程 \(dp_{i,j,k}=\max\limits_{[j,k]\cap[l,r]} dp_{i-1,l,r} + val(j,k)\)
这玩意是 \(O(n^5)\) 的，墨迹的要死，考虑优化
发现其实有交相当于有一个重合的点就好了，所以把状态优化成两维的，\(dp_{i,j}\) 表示选到了第 \(i\) 行，选了 \(j\) 的最大价值和
转移依旧显然 \(dp_{i,j}=\max\limits_{p \le \min (j,k),q \ge \max (j,k) } dp_{i-1,k}+val(p,q)\)
发现还是 \(O(n^5)\)，但是那个 \(val(p,q)\) 可以直接用最大后缀之类的优化掉，发现 \(O(n^3)\) 了
接着试图把那个 \(val(p,q)\) 拆开，就是 \(val(j,k)+f(j)+f(k)\) 然后可以拆出来一堆只依赖一个变量的式子，直接用数组记录最优决策就做完了
机动车驾驶员考试
好题
把逆天题面转化一下，得好题面，现在有一个数 \(x\)，每次对其进行 \(x-1 \to x\)，可能会在一些地方使整个东西乘 \(2\)，也就是 \(2^kx-2^k\)，\(k\) 是恰好落在这里的修改个数
其实就是求这些函数按时间顺序最少复合起来几个能让 \(x=0\)
因此考虑在时间上建出线段树，对于 \(f\) 和 \(g\)，我们定义 \(f \circ g=f(g(x))\)
之后维护一个 \(x_{min}\) 也就是使 \(f(x)>0\) 的最小正整数就可以线段树上二分求答案了
直接按照上式暴力合并和修改就好了，发现一个问题，函数的斜率和截距都可能过大，导致无法存储，\(x_{min}\) 只能算出来分数，取模之后没办法比较大小
发现 \(x_{min} \le 10^9\)，因为对于一个结点，它的 \(x_{min}\) 随着修改的增加一定单调不增，而初始状态满足 \(x_{min} \le 10^9\)
所以只需要大力分讨，由于不能解方程，只能用 \(\frac{\delta y}{\delta k}={\delta x}\)
之后我们判定当 \(x\) 进入当前子树，执行 \(x=f(x)\) 之后是否取过模就好了
记得离散化
最短路
发现需要高精，寄
考虑高精的实现，是加 \(2^k\) 和比较大小，尝试查看其二进制表示下特殊的地方，发现只要支持：
- 查找这一位上的数
- 修改这一位上的数
- 查找这一位向前第一个 \(0\)
- 同时修改几个不同位上的数
- 查询两个数中第一个不同的位置
- 可以快速迭代和赋值，不占用太大空间
发现主席树可以维护，封一个主席树高精就好了
魔卡少女樱
考虑一个朴素 dp，差分转化题面之后就变成了选择一个 \(n-1\) 项的正整数序列，不选三的倍数，贡献是 \(dp_{n，m} \times (m-sum)\) （sum是序列元素之和）
这就是 \(O(n(m-n))\) 做法，可以获得 \(80\) 高分
那么我们现在考虑将所有三都拿出来，以后再插，发现有 \(dp_i=\dbinom{n}{m-n}\)
接着前缀和一下，把三插板扔进去，做完了
声之形
没改出来
博弈
发现一个结论：先手必胜当且仅当有一个数的出现次数是奇数
求所有数的出现次数是偶数
异或哈希就好了
跳跃
发现如果没有那个烦人的非负限制，我们的 \(k\) 又很大，一定直接跳到一个地方，使其后缀最大连续段最大，然后不断跳过整个连续段就好了
那正常的时候也可以一样跳，只不过不无脑跳最大的，都可以跳，发现如果跳到另一个连续段应该先跳到能跳到的比较大的，之后跳两次才可能跳到更大的了
所以直接 \(O(n^2)\) dp 之后对最后停在所有位置取 \(\max\) 即可
圣诞树
特殊性质：主席树
维护 \(\operatorname{mex}\)，不难想到莫队，括号序莫队，第一次出现的时候加入，第二次删除，要支持删除，可以发现值域分块可以解决这个问题，分块修改 \(O(1)\)，查询 \(O(\sqrt n)\) 总复杂度 \(O(n\sqrt n)\)
思考跑的更快的 polylog 做法，要用到本题同种颜色只出现两次的性质，首先整体二分可以用一个 \(\log\) 的代价把问题转化成链上数颜色，扫每个颜色依次考虑对每个位置的贡献就好了，是矩形加，单点查，扫描线即可
