模拟赛下半

模拟赛下半

那一天她离我而去

板子，写写吧

发现一个暴力是断掉源点周围若干边之后跑最短路，发现只要让最小环上的两条边不同时被断开就好了，考虑到两个数不同，二进制必有一位不同，所以按照编号的二进制位分组就好了，复杂度 $O(m\log m\log n)$

考虑一个更优秀的做法，建出最短路树（其实就是断掉最短路dag里面的一些边），发现只要枚举非树边，如果这条边两边的结点lca就是源点，直接更新答案就好了，复杂度 $O(m\log m)$

单调区间

不会 $O(n)$，写个 $O(n\log n)$

首先肯定是扫描线，对每个左端点算能扩展到的最大右端点

发现可以在值域中画出两条直线代表这两个序列，在它们交点之后才有可能扩展不到，再仔细观察一下：

只有 中小大中 中大小中 两种才可能满足这玩意

开个值域树状数组，一边扫一边维护最后一个大于/小于某个数出现位置的数就好了，发现就是前缀 $max$

Kanon

水题，但是想写

发现每个雪球不可能超过前面的，所以直接思考如何确定中间的雪归谁

前缀和出来之后二分就完了

Summer Pockets

赛时想到了，结果没写上

考虑先放一个方向上的栅栏，发现分割成的区域里蝴蝶数量一定都是一样的，因为这些区域内部的最终连通块数量一定一样

所以我们可以直接把蝴蝶排序，枚举蝴蝶数量的约数，之后确定这一边的合法方案数，对于另一个方向，也是每个栅栏可以放置的区间满足两两不交，暴力做就好了

发现后面的暴力卡满是 $O(n^2)$ 的，前面枚举约数是 $O(\sqrt{n})$ 的，所以复杂度大概是这个样子，加上这两边都根本跑不满，所以快得飞起

穗

ynoi 题

考虑单点怎么做，显然带修莫队和分块都能肆意水过，就是维护一个 pre

考虑我们实际上查询的是什么 $pre<l$ 并且 $l<pl<r$ 的数个数，这不是二维数点么，加上修改，就是三维数点

发现根据颜色段均摊原理，pre 数组和修改颜色块次数一样，是 $O(m)$ 的

于是变成了三维偏序板子，CDQ就能做到 $O(n{\log }^{2}n)$

Non-breath oblige

又是 ynoi 题

先不带交换操作，
就是说对于一个询问，只有最近的一次影响到它的推平会有贡献，所以我们直接记录一下那个推平的时间戳

现在要求的是 $tm>L$，$L\le pl\le R$ 的点权和，二维数点即可

考虑加上之后怎么做，线段树单点修改就完了

妄想感伤代偿联盟

类似于把两个串拼起来求个 border，之后和串长取 $min$

容易联想到AC自动机，之后从需要后缀的串跳 fail 指针，相当于把这个和需要前缀的链取交，暴力跳fail $O(n)$，之后如果树剖链上 $max$ 就是 $O(n{\log }^{2}n)$ 的

考虑优化，发现因为权值是深度，所以权值单调，又因为一个点会对子树产生贡献，所以区间推平单点查询就好了，复杂度 $O(n\log n)$

法阵

写了再说

连通块

是经典结论，一个点最远距离必是直径一个端点，所以等价于求直径，又因为直径可以合并，做完了

军队

开局那个是矩形加，扫描线一下，变成区间加全局查排名

这玩意可以根号做，但是因为查的数非常小，所以索性直接用线段树维护前 $k$ 大的值以及个数，复杂度 $O(km\log n)$

然后对于查询，发现只需要记录比较小的一种性别，之后对能不能取到最值分治就好了，随便拆个式子，离线下来复杂度就是 $O(n)$，在线复杂度带个二分的 $\log$

棋盘

不会

Wallpaper Collection

首先把那一坨不知道什么东西的限制翻译成人话，就是相邻两行选择的区间必须有交，考虑朴素 dp

设 $d{p}_{i,j,k}$ 表示选到了第 $i$ 行，选了 $[j,k]$ 的最大价值和

容易写出方程 $d{p}_{i,j,k}=\underset{[j,k]\cap [l,r]}{max}d{p}_{i-1,l,r}+val(j,k)$

这玩意是 $O(n^5)$ 的，墨迹的要死，考虑优化

发现其实有交相当于有一个重合的点就好了，所以把状态优化成两维的，$d{p}_{i,j}$ 表示选到了第 $i$ 行，选了 $j$ 的最大价值和

转移依旧显然 $d{p}_{i,j}=\underset{p\le min(j,k),q\ge max(j,k)}{max}d{p}_{i-1,k}+val(p,q)$

发现还是 $O(n^5)$，但是那个 $val(p,q)$ 可以直接用最大后缀之类的优化掉，发现 $O(n^3)$ 了

接着试图把那个 $val(p,q)$ 拆开，就是 $val(j,k)+f(j)+f(k)$ 然后可以拆出来一堆只依赖一个变量的式子，直接用数组记录最优决策就做完了

机动车驾驶员考试

好题

把逆天题面转化一下，得好题面，现在有一个数 $x$，每次对其进行 $x-1\to x$，可能会在一些地方使整个东西乘 $2$，也就是 $2^{k}x-2^k$，$k$ 是恰好落在这里的修改个数

其实就是求这些函数按时间顺序最少复合起来几个能让 $x=0$

因此考虑在时间上建出线段树，对于 $f$ 和 $g$，我们定义 $f\circ g=f(g(x))$

之后维护一个 $x_{min}$ 也就是使 $f(x)>0$ 的最小正整数就可以线段树上二分求答案了

直接按照上式暴力合并和修改就好了，发现一个问题，函数的斜率和截距都可能过大，导致无法存储，$x_{min}$ 只能算出来分数，取模之后没办法比较大小

发现 $x_{min}\le {10}^9$，因为对于一个结点，它的 $x_{min}$ 随着修改的增加一定单调不增，而初始状态满足 $x_{min}\le {10}^9$

所以只需要大力分讨，由于不能解方程，只能用 $\frac{\delta y}{\delta k}=\delta x$

之后我们判定当 $x$ 进入当前子树，执行 $x=f(x)$ 之后是否取过模就好了

记得离散化

最短路

发现需要高精，寄

考虑高精的实现，是加 $2^k$ 和比较大小，尝试查看其二进制表示下特殊的地方，发现只要支持：

1. 查找这一位上的数
2. 修改这一位上的数
3. 查找这一位向前第一个 $0$
4. 同时修改几个不同位上的数
5. 查询两个数中第一个不同的位置
6. 可以快速迭代和赋值，不占用太大空间

发现主席树可以维护，封一个主席树高精就好了

魔卡少女樱

考虑一个朴素 dp，差分转化题面之后就变成了选择一个 $n-1$ 项的正整数序列，不选三的倍数，贡献是 $d{p}_{n，m}\times (m-sum)$ （sum是序列元素之和）

这就是 $O(n(m-n))$ 做法，可以获得 $80$ 高分

那么我们现在考虑将所有三都拿出来，以后再插，发现有 $d{p}_i={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m-n})}$

接着前缀和一下，把三插板扔进去，做完了

声之形

没改出来

博弈

发现一个结论：先手必胜当且仅当有一个数的出现次数是奇数

求所有数的出现次数是偶数

异或哈希就好了

跳跃

发现如果没有那个烦人的非负限制，我们的 $k$ 又很大，一定直接跳到一个地方，使其后缀最大连续段最大，然后不断跳过整个连续段就好了

那正常的时候也可以一样跳，只不过不无脑跳最大的，都可以跳，发现如果跳到另一个连续段应该先跳到能跳到的比较大的，之后跳两次才可能跳到更大的了

所以直接 $O(n^2)$ dp 之后对最后停在所有位置取 $max$ 即可

圣诞树

特殊性质：主席树

维护 $\mathrm{mex}$，不难想到莫队，括号序莫队，第一次出现的时候加入，第二次删除，要支持删除，可以发现值域分块可以解决这个问题，分块修改 $O(1)$，查询 $O(\sqrt{n})$ 总复杂度 $O(n\sqrt{n})$

思考跑的更快的 polylog 做法，要用到本题同种颜色只出现两次的性质，首先整体二分可以用一个 $\log$ 的代价把问题转化成链上数颜色，扫每个颜色依次考虑对每个位置的贡献就好了，是矩形加，单点查，扫描线即可