模拟赛全集
模拟赛全集
嘉然登场
挺不错的题，发现对于每个数，都有固定的数可以与其相邻，而且排序之后是整个序列的一段后缀
首先我们发现当序列有解的时候一定有数可以和任何一个数相邻，丢进去就完事了
那么我们考虑对于每个值，让能放到它旁边的值全扔进去，之后直接暴力插入任意一个缝隙就好了，注意到这样之后就没有能放到其旁边的数了，直接将其左右两边合并成一个位置就好了
容易发现这样之后会生成一个子问题，和之前没什么区别，接着上面的做就好了，这个可以维护当前缝隙数来做，左右两边指针相遇的时候就求出结果了
Clannad
也是不错的题，发现在线不好做，考虑离线下来做
考虑一个朴素做法，求出区间 lca 之后暴力跳到 lca，之后将经过的点打上标记 树剖加上 bitset \(O(\frac{n^2}{w})\) 即可通过此题
考虑将贡献拆开尽量变成每个下标独立贡献，发现就是每个值到根的链上的路径交长度减去 lca 的深度，后者可以直接用经典 trick 求
问题变成树链推平，查询颜色在 \(l\)，\(r\) 之间的节点个数，扫描线之后用后面的覆盖前面的，扫到询问末尾就更新答案，这里树链推平可以树剖之后珂朵莉树维护，至于查询颜色在 \(l\)，\(r\) 之间的节点个数，用个树状数组或者线段树就做完了
修水管
挺难的 dp 了，发现求水管修复概率比求期望要简单，考虑分别计算每段水管的概率
因为一轮只能修一个，而且要按照顺序，只需知道有多少轮能让 \(i\) 被判断就有办法计算，所以将 \(dp_{i,j}\) 设为前 \(i\) 条水管中有 \(j\) 条修复了的概率，发现可以如下转移
初始化 \(dp_{0,0}=1\) 即可递推出所有的状态结果，最后考虑计算答案，发现 \(P_i\) 就是通过第二个方程转移过来的所有数之和，也就是 \(P_i= \sum dp_{i-1,j-1}\times (1-(1-p_i)^{r-j+1})\) 直接暴力计算即可
最后 \(\sum w_i P_i\) 即所求
小孩召开法 3
多组询问 01 背包，猫树分治
首先暴力跑背包可以得到三十高分
考虑一个分块做法，将每块边界的背包前缀和，后缀和求出，之后合并，只计算答案为查询大小的值，容易发现单次合并复杂度是 \(O(T)\)，预处理 \(O(n\sqrt n T)\)，询问 \(O(m \sqrt n T)\)，上界在预处理和块内，莫队可以达到差不多的复杂度
发现复杂度不对的主要原因是不是每个区间都包含预处理边界，一个区间包含多个，处理块内太磨叽
直接改成分治就做完了
BB
为数不多切掉的有意义题目
考虑子树内有自己节点相当于自己给自己钱，所以每个节点权值变成 \(w_i+son_i-h_i\)，sort一遍就做完了
长途巴士
随
想你了Delov学长
发现p巨小无比，所以直接写每个数在答案中出现的概率
有式子 \(dp_{i \times j \mod p}=\sum dp_i \times p_j\)
容易发现这玩意是个多项式乘法 plus，就是把中间的加法做成乘法，直接倍增（快速幂）就做完了
串串
其实本来不大想写这题，后来看到大家基本都写的难绷哈希决定写一写
发现对于一个点，若以其为中心的最长回文串既不顶到开头，也不顶到结尾，那么一定不能是答案，如果顶到结尾就是答案，顶到开头的话将它翻转之后的末尾的答案和他一样
所以 manacher 求出以每个字符为中心最长奇回文子串就好了
桥桥
考虑不带修怎么做：显然是离线下来按照重量将询问和边权排序，把大于询问权的边全部插入，这样就不需要维护删边
对于本题，我们可以尝试使用类似的思路，发现因为有可撤销并查集，我们是可以删除后插入的部分边的
所以对询问分块，对于块内没改的边直接插入并查集，对于改过的边，暴力 \(O(\sqrt m)\) 扫一遍判断要不要加入就好了
使用归并排序和 Kaguya 学长教的可撤销路径压缩并查可以做到 \(O(m\sqrt {m \alpha(m)})\) 的优秀复杂度但是我实现太垃圾打不过若干带 \(\log\) 写法
春色春恋春熙风
发现其实是要求只有至多一个奇数出现次数字符的路径最大长度
考虑枚举这个奇数字符，之后对于每条路径，令 \(0\) 表示偶，\(1\) 表示奇，一条路径的状态就是其左右两部分异或起来
根据很多淀粉质题带来的启发，我们最好分别对每个节点都求出以这个节点为 lca 的最长合法路径，对于判断合法路径，由于 lca 到根的那段在两边到根的树链上，所以给每个节点赋上到树根路径上的状态作为权值即可
为了让复杂度正确，我们需要类似其他题，对每个状态开一个桶，之后拼合左右两边
这题和其他套路题不同的是这个桶的状态太多，所以复杂度会退化成 \(O(n^2w)\) （w 是字符集大小），我们发现复杂度主要卡在桶的合并上，这个是 \(O(n^2)\) 的时空复杂度，这时候采用线段树合并即可获得高贵的大常数 \(O(wn \log n)\) 做法，注意空间复杂度为 \(O(nw)\) 卡卡常就能在 CF 上过掉
但是我们还有更加优秀的做法，当处理每个结点时
- 递归处理轻儿子
- 暴力跑一遍轻儿子子树，清空当前桶
- 处理重儿子，不清空桶
- 处理轻儿子，直接合并
我们发现这让轻儿子会被遍历好多好多遍，但是我们可以证明其复杂度是正确的，根据树剖结论即可发现复杂度为小常数 \(O(wn \log n)\)，容易发现这时候空间复杂度是 \(O(2^w)\)，不过貌似使用 unordered_map 可以将空间搞到 \(O(n)\)，但是小常数的优势也就没了（其实手写哈希表应该能规避类似的问题）
所以学长为什么不放线段树合并过
雪色雪花雪余痕
转化第二个限制，发现是说这是一个凸壳，就是说 \(\delta a\) 单调递增，就是长得的是个单谷的逆天样子
发现一个结论，把区间中 \(0\) 去掉之后顶多有 \(\sqrt n\) 级别的位置，这启示我们把 \(0\) 作为中间，左右分别做两个斜率和原数都单调递增的序列
显然是设 \(dp_{i,j}\) 为 \(i\) 个数，和为 \(j\) 的方案数，发现转移类似背包和之前的 合并r 类似，写出来就是
需要注意的是类似完全背包，第一个转移可以使用多次，所以需要正序枚举 \(j\)
之后我们只需要拼合两端就能够求出答案，考虑限制，就是两边的长度加和要 \(\le n-1\) ，因此对一边求前缀和，然而发现我们还没管条件一，为了满足条件一，我们可能会向上平移整个凸包，也类似完全背包，发现如果先合并再计算复杂度不对，所以为了避免算重，在没求前缀和的那边加上就好，就是 \(f_{i,j}=f_{i,j}+f_{i,j-n}\)
最后直接合并，时空复杂度 \(O(n \sqrt n)\)，因为 dp 是个类似背包的形式，所以可以撤销，能够滚动，把空间优化到 \(O(n)\)
无标号 Sequence 构造
主要记一下这个套路
考虑 \(O(n^3)\) 矩阵乘法做不了，做 \(O(n^2)\) 的，随机构造一个 \(n \times 1\) 的向量乘在答案矩阵和计算矩阵最左边
根据结合律，可以直接判断最后做出来两个向量是否相等
joke3579说错误率是 \(\frac{1}{mod}\)
无标号 Multiset 构造
貌似是某年省选模拟 T1 加强
是比较简单的好题捏
用类似状压方式表示每一列选择的状态
考虑 \(k\) 只有 \(5\)，所以一列只有最多 \(32\) 个状态，有一个重要性质就是图的连通性只与哪些状态出现过有关，和出现的次数完全无关
假设我们知道当前列上有 \(x\) 个不同的状态，那么贡献的方案数就是把 \(x\) 个数填满长为 \(n\) 的数列，每个数至少出现一次的方案数
这是简单的，直接容斥即可
那么我们只需要对每个 \(x\) 求有 \(x\) 个不同的状态，让图联通的选择方案数，和上面那个东西乘起来得到答案
发现 dp 之类的很困难，考虑暴搜，复杂度 \(O(2^{2^k})\)，轻松跑过 \(k \le 4\)
对于 \(k = 5\) 容易发现 \(x\) 最多有 \(2^k\) 也就是 \(32\) 种取值，打表就行了
赛时打表的时候上个厕所，我是时间管理大师
嘉然今天吃什么
这玩意也是 ynoi 题？
考虑最大的异或数对对答案的贡献，只有它们到根的链上答案不是它们的值
求出来这个之后链上一个个插入就好了，时空复杂度 \(O(n \log V)\)，（\(V\) 是值域）
赛时因为写的高级递归 trie 树被狠狠的卡常了
生活在hzoi上
单开了一篇
