[SCOI2009]windy数

[SCOI2009]windy数

题目

windy定义了一种windy数。不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。 windy想知道，在A和B之间，包括A和B，总共有多少个windy数？

INPUT

包含两个整数，A B。

OUTPUT

一个整数

SAMPLE INPUT

1

1 10

2

25 50

SAMPLE OUTPUT

1

9

2

20

解题报告

首道数位$dp$

首先，我们可以把区间和问题转化为前缀和问题，这样就很好处理了

设$f[i][j]$表示第$i$位为$j$的合法数的总数

我们可以得到$f[i][j]=\sum_{ \left | i-k \right |\geq 2}f[i-1][k]$

那么对于一个数$x$，我们可以处理出它的位数以及每一位的数字，对于位数小于该数位数的，我们可以直接求和得到贡献，对于位数相同但首位不同的也是如此，剩下的就是如何统计靠近上界的答案了

我们有该数每一位的数字，那么我们就可以以此为上边界枚举该位数字，判断与前一位关系能否对答案造成贡献，转移$f$数组即可

注意一些细节，比如前导0的处理qwq

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long L;
L a,b,f[15][15],num[40];
inline L solve(L x){
    if(x<=0)return 0;
    L ret(0);int top(0);
    while(x){num[++top]=x%10;x/=10;}
    for(int i=1;i<top;++i)
        for(int j=1;j<=9;++j)
            ret+=f[i][j];
    for(int i=1;i<num[top];++i)ret+=f[top][i];
    for(int i=top-1;i>0;--i){
        for(int j=num[i+1]+2;j<=9;++j)
            if(j<num[i])
                ret+=f[i][j];
        for(int j=num[i+1]-2;j>=0;--j)
            if(j<num[i])
                ret+=f[i][j];
        if(abs(num[i+1]-num[i])<2)break;
        if(i==1)++ret;
    }
    return ret;
}
int main(){
    for(int i=0;i<=9;++i)f[1][i]=1;
    for(int i=2;i<=11;++i)
        for(int j=0;j<=9;++j)
            for(int k=0;k<=9;++k)
                if(abs(j-k)>=2)
                    f[i][j]+=f[i-1][k];
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld",solve(b)-solve(a-1));
}