[Usaco2010 Dec]Exercise 奶牛健美操
[Usaco2010 Dec]Exercise 奶牛健美操
题目
Farmer John为了保持奶牛们的健康，让可怜的奶牛们不停在牧场之间 的小路上奔跑。这些奶牛的路径集合可以被表示成一个点集和一些连接 两个顶点的双向路，使得每对点之间恰好有一条简单路径。简单的说来， 这些点的布局就是一棵树，且每条边等长，都为1。 对于给定的一个奶牛路径集合，精明的奶牛们会计算出任意点对路径的最大值， 我们称之为这个路径集合的直径。如果直径太大，奶牛们就会拒绝锻炼。 Farmer John把每个点标记为1..V (2 <= V <= 100,000)。为了获得更加短 的直径，他可以选择封锁一些已经存在的道路，这样就可以得到更多的路径集合， 从而减小一些路径集合的直径。 我们从一棵树开始，FJ可以选择封锁S (1 <= S <= V-1)条双向路，从而获得 S+1个路径集合。你要做的是计算出最佳的封锁方案，使得他得到的所有路径集合 直径的最大值尽可能小。 Farmer John告诉你所有V-1条双向道路，每条表述为：顶点A_i (1 <= A_i <= V) 和 B_i (1 <= B_i <= V; A_i!= B_i)连接。 我们来看看如下的例子：线性的路径集合(7个顶点的树) 1---2---3---4---5---6---7 如果FJ可以封锁两条道路，他可能的选择如下： 1---2 | 3---4 | 5---6---7 这样最长的直径是2，即是最优答案(当然不是唯一的)。
INPUT
第1行： 两个空格分隔的整数V和S * 第2...V行： 两个空格分隔的整数A_i和B_i
OUTPUT
第1行：一个整数，表示FJ可以获得的最大的直径。
SAMPLE
INPUT
7 2
6 7
3 4
6 5
1 2
3 2
4 5
OUTPUT
2
解题报告
二分答案$+$贪心验证，竟然放在$DP$专题里= =（可能是我造化不够）
首先我们可以看到题面中闪闪发光的一句话
最大值尽可能小
这东西一眼看上去就知道，二分差不多就是可行的了
我们可以二分该最小值，然后验证其是否合法
我们设$f[i]$表示以第$i$个节点为根的子树中，合法的最长直链的长度
合法：
即保证最长链长度不可大于二分的答案
直链：
指链两端点路径不跨过根节点的链
然后我们就可以用$f[i]$计算要砍去多少条边，从而判断当前二分出的答案的合法性
那么问题来了，如何计算$f[i]$
显然直接求$max(f[son])$是不可行的，因为这不保证合法，但我们想，当我们选出两条儿子所在的直链，发现当他们接在一起时长度过大，需要从中砍断的时候，会有这样的事情：
- 砍较长链链顶的边最优
- 砍完该边后，该链不再对父节点造成影响
第二点显然，砍完之后该链与父节点不再属于同一联通块内，故不会再影响
第一点也很显然（废话），如果我们砍较短链，或者不是链顶的边，那么最长直链可能还会与其他直链相接再次产生不合法链，需要多砍一次，所以砍较长链链顶的边是最优的
那么我们就可以处理了，将当前节点的所有$f[son]$从大到小排序，依次枚举，判断相邻的两条直链长度相接是否合法，假如合法，将$f[i]$赋值，否则继续枚举，并且记录砍掉的边的数目$++$
注意处理某些奇怪的边界问题
1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 int sum(0); 8 char ch(getchar()); 9 for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()); 10 for(;ch>='0'&&ch<='9';sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar()); 11 return sum; 12 } 13 struct edge{ 14 int e; 15 edge *n; 16 }a[200005],*pre[100005]; 17 int tot; 18 inline void insert(int s,int e){ 19 a[++tot].e=e; 20 a[tot].n=pre[s]; 21 pre[s]=&a[tot]; 22 } 23 int n,m; 24 int f[100005],fa[100005]; 25 int ans; 26 int mid,num; 27 int tmp[100005]; 28 inline bool cmp(int x,int y){ 29 return x>y; 30 } 31 inline void dfs(int u){ 32 bool flag(false); 33 for(edge *i=pre[u];i;i=i->n){ 34 int e(i->e); 35 if(e!=fa[u]){ 36 flag=true; 37 fa[e]=u; 38 dfs(e); 39 } 40 } 41 if(!flag) 42 return; 43 tmp[0]=0; 44 f[u]=0; 45 for(edge *i=pre[u];i;i=i->n){ 46 int e(i->e); 47 if(e!=fa[u]) 48 tmp[++tmp[0]]=f[e]+1; 49 } 50 int size(tmp[0]); 51 sort(tmp+1,tmp+1+size,cmp); 52 tmp[size+1]=0; 53 for(int i=1;i<=size;++i){ 54 if(tmp[i]+tmp[i+1]>mid) 55 ++num; 56 else{ 57 f[u]=tmp[i]; 58 break; 59 } 60 } 61 } 62 inline bool check(){ 63 num=0; 64 memset(f,0,sizeof(f)); 65 dfs(1); 66 if(num<=m) 67 return true; 68 return false; 69 } 70 inline void ef(int l,int r){ 71 while(l<=r){ 72 mid=(l+r)>>1; 73 if(check()) 74 r=mid-1,ans=mid; 75 else 76 l=mid+1; 77 } 78 } 79 int main(){ 80 memset(pre,NULL,sizeof(pre)); 81 n=read(),m=read(); 82 for(int i=1;i<n;++i){ 83 int x(read()),y(read()); 84 insert(x,y),insert(y,x); 85 } 86 ef(1,n); 87 printf("%d",ans); 88 }
