[国家集训队2012]tree(陈立杰)
[国家集训队2012]tree(陈立杰)
题目
给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。
题目保证有解。INPUT
第一行V,E,need分别表示点数，边数和需要的白色边数。
接下来E行
每行s,t,c,col表示这边的端点(点从0开始标号)，边权，颜色(0白色1黑色)。OUTPUT
一行表示所求生成树的边权和。
SAMPLE
INPUT
2 2 1
0 1 1 1
0 1 2 0
OUTPUT
2
数据规模
0:V<=10
1,2,3:V<=15
0,..,19:V<=50000,E<=100000
所有数据边权为[1,100]中的正整数。
解题报告
国家集训队的题，果然是好题= =
首先，我们观察题面，显然与最小生成树有什么关系，但是，直接跑最小生成树显然也是不合理的，那么问题就在于，如何在跑最小生成树的同时，还能保证白边的个数？
正解是个很神奇的东西——二分
首先我们想怎么二分，我们注意到，边权的范围很小，是$[1,100]$，那么，我们是否可以通过控制白边的边权，达到在最小生成树中控制白边的数量呢？
显然可以。
我们以$Kruskal$算法为例，我们进行$Kruskal$时，是以每条边的边权为依据，进行从小到大排序，然后从小到大取出各个边，不断加入连通分量中，最后形成最小生成树。那么，当我们改变某一些边的权值时，我们按权值排序得出的边的序列也一定就会不一样，那么，我们就可以通过控制权值来控制加入生成树的白边数了。
具体做法：
在$[-100,100]$中二分得到$mid$，让所有白边的权值加上该$mid$值，跑$Kruskal$，直到得到最终结果
但是，只是这样就可以了吗？
显然不是。
我们考虑，假如我们点很少，只有$10+$个点，但是我们的边很多，达到了$100000$，而且权值范围还被限制在了$[1,100]$，那么显然，会有许多等价的黑边与白边，即使加上了某一个权值，也可能会有很多白边与很多黑边相等价，当我们按照权值排序的同时，我们把黑边与白边混在了一起，然后我们就开始了$Kruskal$，那样的话，我们本来可以得到刚好$need$条白边，我们却把一些与黑边等价的白边扔进了生成树中，这样的话，我们本来可以得到最优解，却认为它是不合法的。
这时我们就需要处理一下这些等价的边。
具体做法：
在二分后判断时，我们不单单判断此时白边的数目是否等于$need$，而是将一切白边数大于等于$need$的情况全部考虑上，然后，我们加上了（或者是减去，因为我们有负数）许多为了控制生成树的权值，所以我们需要减去（或加上）这些权值，我们并不能将所有白边修改的权值修改回去，而是将$need\times mid$权值处理掉，因为假如我们处理所有的白边，我们可能将那些等价于黑边的白边也处理掉了，也就是相当于处理了黑边，显然是不合法的，所以我们只处理$need$条，也就是真正被当成白边的白边数量
1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 int sum(0),f(1); 8 char ch(getchar()); 9 for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) 10 if(ch=='-') 11 f=-1; 12 for(;ch>='0'&&ch<='9';sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar()); 13 return sum*f; 14 } 15 struct edge{ 16 int s,e,w,col,tmp; 17 friend bool operator<(const edge &a,const edge &b){ 18 return a.tmp==b.tmp?a.col<b.col:a.tmp<b.tmp; 19 } 20 }a[100005]; 21 int n,m,need; 22 int fa[50005]; 23 inline int find(int x){ 24 if(fa[x]==x) 25 return x; 26 fa[x]=find(fa[x]); 27 return fa[x]; 28 } 29 int tp; 30 inline bool krus(){ 31 tp=0; 32 int tot(0),whit(0); 33 sort(a+1,a+m+1); 34 for(int i=1;i<=m;++i){ 35 int s(a[i].s),e(a[i].e); 36 int fs(find(s)),fe(find(e)); 37 if(fs!=fe){ 38 fa[fe]=fs; 39 if(a[i].col==0) 40 ++whit; 41 ++tot; 42 tp+=a[i].tmp; 43 if(tot==n-1) 44 break; 45 } 46 } 47 return whit>=need; 48 } 49 inline int gg(){ 50 freopen("nt2012_tree.in","r",stdin); 51 freopen("nt2012_tree.out","w",stdout); 52 n=read(),m=read(),need=read(); 53 for(int i=1;i<=m;++i) 54 a[i].s=read()+1,a[i].e=read()+1,a[i].w=read(),a[i].col=read(); 55 int l(-105),r(105),ans; 56 while(l<=r){ 57 int mid((l+r)>>1); 58 for(int i=1;i<=n;++i) 59 fa[i]=i; 60 for(int i=1;i<=m;++i){ 61 if(a[i].col==0) 62 a[i].tmp=a[i].w+mid; 63 else 64 a[i].tmp=a[i].w; 65 } 66 if(krus()) 67 l=mid+1,ans=tp-need*mid; 68 else 69 r=mid-1; 70 } 71 printf("%d",ans); 72 return 0; 73 } 74 int K(gg()); 75 int main(){;}
