[补档]各种奇怪的韩信问题
这是两道奇怪的韩信问题
韩信点兵&丧心病狂的韩信大点兵
T1 [COGS 1786]韩信点兵
题目
韩信是中国军事思想“谋战”派代表人物，被后人奉为“兵仙”、“战神”。“王侯将相”韩信一人全任。“国士无双”、“功高无二，略不世出”是楚汉之时人们对其的评价。作为统帅，他率军出陈仓、定三秦、擒魏、破代、灭赵、降燕、伐齐，直至垓下全歼楚军，无一败绩，天下莫敢与之相争。相传，韩信带兵打仗时，从不直接清点军队人数。有一次，韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人。站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出人数：1049。这次，刘邦派韩信带兵N人攻打一座重兵驻扎的城市。城市占领了，可汉军也是伤亡惨重。韩信需要知道汉军至少损失了多少兵力，好向刘邦汇报。已知韩信发出了M次命令，对于第i次命令，他选择一个素数Pi，要求士兵每Pi人站一排，此时最后一排剩下了ai人。你的任务是帮助韩信求出这种情况下汉军损失兵力的最小值。当然，由于士兵们都很疲惫，他们有可能站错队伍导致韩信得到的数据有误INPUT
第一行两个正整数N,M，分别代表最初的军队人数和韩信的询问次数。接下来有M行，每行两个非负整数Pi，ai，代表韩信选择的素数和此时剩下的人数。输入保证每个素数各不相同OUTPUT
输出一行，一个整数。若有解，输出最小损失人数。若无解，输出-1.SAMPLE
INPUT
1500 33 25 47 6OUTPUT
31
解题报告
CRT裸题
CRT：中国剩余定理（中国单身狗定理）
设正整数m1,m2,...,mk两两互素，则同余方程组
x≡a1 (mod m1)
x≡a2 (mod m2)
x≡a3 (mod m3)
. . . . . .
x≡ak (mod mk)
有整数解，并且在模M=m1×m2×...×mk下的解是唯一的，解为
x≡(a1×M1×ny(M1)+...+ak×Mk×ny(Mk))mod M
其中Mi=M/mi，而ny(Mi)为Mi模mi的逆元
代码如下：
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 typedef long long L; 6 L n; 7 int m; 8 L a[11],mod[11]; 9 L M(1),ans(0); 10 inline void extend_gcd(L a,L b,L &x,L &y){ 11 if(b==0){ 12 x=1; 13 y=0; 14 return; 15 } 16 extend_gcd(b,a%b,x,y); 17 L tmp(x); 18 x=y; 19 y=tmp-(a/b)*y; 20 } 21 inline L CRT(L a[],L m[],int n){ 22 for(int i=1;i<=n;i++) 23 M*=m[i]; 24 for(int i=1;i<=n;i++){ 25 L x,y; 26 L Mi(M/m[i]); 27 extend_gcd(Mi,m[i],x,y); 28 ans=(ans+M+Mi*x*a[i])%M; 29 } 30 //if(ans<0) 31 // ans+=M; 32 return ans; 33 } 34 inline int gg(){ 35 freopen("HanXin.in","r",stdin); 36 freopen("HanXin.out","w",stdout); 37 scanf("%lld%d",&n,&m); 38 for(int i=1;i<=m;i++) 39 scanf("%lld%lld",&mod[i],&a[i]); 40 L ans(CRT(a,mod,m)); 41 if(ans>n){ 42 puts("-1"); 43 return 0; 44 } 45 while(ans<n) 46 ans+=M; 47 ans-=M; 48 printf("%lld",n-ans); 49 } 50 int k(gg()); 51 int main(){;}
需要注意的是，要求的是最小损失人数，稍微处理一下结果即可
T2 [COGS 2160]丧心病狂的韩信大点兵
题目
懒得粘了，上链接= =
这道题显然不能用普通的CRT做，因为它们不互质
此时我们就要采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程
x=a1+m1x1
x=a2+m2x2
那么得到
a1+m1x1=a2+m2x2 ☞ m1x1+m2x2=a2-a1
再利用扩展欧几里得解出x1的最小整数解，再代入
x=a1+m1x1
得到x后，合并为一个方程的结果为
y≡x(mod lcm(m1,m2))
这样一直合并下去，最终可以求得解
代码如下：
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 typedef long long L; 6 int m; 7 L a[21],mod[21]; 8 inline L gcd(L a,L b){ 9 return a%b?gcd(b,a%b):b; 10 } 11 inline L ext_gcd(L a,L b,L &x,L &y){ 12 if(b==0){ 13 x=1; 14 y=0; 15 return a; 16 } 17 L gcd(ext_gcd(b,a%b,x,y)); 18 L tmp(x); 19 x=y; 20 y=tmp-(a/b)*y; 21 return gcd; 22 } 23 inline L ny(L a,L b){ 24 L x,y; 25 L gcd(ext_gcd(a,b,x,y)); 26 if(gcd!=1) 27 return -1; 28 return (x%b+b)%b; 29 } 30 inline bool merge(L a1,L m1,L a2,L m2,L &a3,L &m3){ 31 L d(gcd(m1,m2)); 32 L c=a2-a1; 33 if(c%d) 34 return false; 35 c=(c%m2+m2)%m2; 36 m1/=d; 37 m2/=d; 38 c/=d; 39 c*=ny(m1,m2); 40 c%=m2; 41 c*=m1*d; 42 c+=a1; 43 m3=m1*m2*d; 44 a3=(c%m3+m3)%m3; 45 return true; 46 } 47 L CRT(L a[],L m[],int n){ 48 L a1(a[1]),m1(m[1]); 49 for(int i=2;i<=n;i++){ 50 L a2(a[i]),m2(m[i]),a3,m3; 51 if(!merge(a1,m1,a2,m2,a3,m3)) 52 return -1; 53 a1=a3; 54 m1=m3; 55 } 56 return (a1%m1+m1)%m1; 57 } 58 inline int gg(){ 59 freopen("weakhanxin.in","r",stdin); 60 freopen("weakhanxin.out","w",stdout); 61 scanf("%d",&m); 62 for(int i=1;i<=m;i++) 63 scanf("%lld%lld",&mod[i],&a[i]); 64 printf("%lld",CRT(a,mod,m)); 65 } 66 int k(gg()); 67 int main(){;}
ps:这份代码是目前COGS上rk1的代码，在各种0.002s中出现一个0.000s，让我这个鶸鷄感觉有些方= =
