[补档][HNOI 2008]GT考试
[HNOI 2008]GT考试
题目
阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0INPUT
第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000
OUTPUT
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.
SAMPLE
INPUT
4 3 100
111OUTPUT
81
解题报告
这道题一开始真心没有什么思路，后来我跟两个dalao一起商（luan）谈（gao）了一个来小时，终于搞了出来= =
首先，我们我们考虑两个串（从短到长）
第一个串为不断增加的准考证号，第二个串为不吉利的号码，第一个串的后缀与第二个串的前缀为重复部分，那么我们很容易得出递推关系
先扯出来，考虑两个集合，一个集合为不吉利的号码，一个集合为吉利的号码。我们只考虑后缀（正确性显然，因为长度长的串一定是由长度短的串递推过来的，所以如果前面有不吉利串，一定被前面的串卡掉了），当后缀包含了m个不吉利串，该串一定是不吉利的。那么，后缀包含0~m-1个不吉利串的前缀的串一定是吉利的。所以，我们把求不吉利的串 转化为 求 后缀包含不吉利串0~m-1 的 串 的 方案数
然而与字符串有啥关系？
考虑这样一个不吉利串
123124
当你的后缀带了2时，你怎么知道你的后几位是12还是12312？所以，加一位不吉利数不代表直接在后面加了一位。
那么，问题来了，如何表示这些奇（chun）奇（de）怪（bu）怪（xing）的转移？
考虑一个递推矩阵，设dp[i][j]为第i个号码匹（zhuan）配（yi）到第j个不吉利数字的方案数，设a[k][i]为k位后加一个数转移到j的方案数，我们可以轻易的得出递推关系：
dp[i][j]=/sumdp[i-1][k]*a[k][j]
用KMP构造初始矩阵，矩阵快速幂得到递推结果。
为什么是矩阵快速幂？
这个问题很简单。我们知道，矩阵乘是这样写的：
1 martrix tmp; 2 for(int i=0;i<n;i++) 3 for(int j=0;j<n;j++){ 4 tmp.data[i][j]=0; 5 for(int k=0;k<n;k++){ 6 tmp.data[i][j]+=(a.data[i][k]*b.data[k][j]); 7 tmp.data[i][j]%=mod; 8 } 9 } 10 return tmp;
那么问题就简单起来了，考虑一个3*3的初始矩阵，第i行，第j列表示从第i位加一个数字转移到第j为数字的方案数，那么以该矩阵的平方的第一行第一列的数为例，（设初始矩阵为a，该矩阵为x）：
x[1][1]=a[1][1]×a[1][1]+a[1][2]×a[2][1]+a[1][3]×a[3][1];
因为是平方得到的矩阵，所以代表了转移两步的状态，我们知道，x[1][1]代表了从第一位经两步转移到第一位的方案数，由加法原理可知：
1->1(经两步)=(1->1->1)+(1->2->1)+(1->3->1)
而又由乘法原理可知：
1->2->1=(1->2)×(2->1)
那么正确性就很显然了，由矩阵快速幂的递推关系可知，最终结果即为第一行的数的和
至于KMP，把10个数字扔进去乱搞就是了= =
记得要模k= =
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 int n,m,mod; 6 char s[25]; 7 int kp[25]; 8 inline void get_kp(){ 9 kp[0]=0; 10 kp[1]=0; 11 int k(0); 12 for(int i=2;i<=m;i++){ 13 while(k&&s[k]!=s[i-1]) 14 k=kp[k]; 15 if(s[k]==s[i-1]) 16 k++; 17 kp[i]=k; 18 } 19 } 20 struct node{ 21 int data[25][25]; 22 node(){ 23 memset(data,0,sizeof(data)); 24 } 25 node operator*(node &a){ 26 node tmp; 27 for(int i=0;i<m;i++) 28 for(int j=0;j<m;j++){ 29 tmp.data[i][j]=0; 30 for(int k=0;k<m;k++){ 31 tmp.data[i][j]+=(data[i][k]*a.data[k][j]); 32 tmp.data[i][j]%=mod; 33 } 34 } 35 return tmp; 36 } 37 node operator*=(node &a){ 38 *this=*this*a; 39 return *this; 40 } 41 }a,sing; 42 ostream& operator<<(ostream &out,node &a){ 43 for(int i=0;i<m;i++){ 44 for(int j=0;j<m;j++) 45 out<<a.data[i][j]<<' '; 46 out<<endl; 47 } 48 return out; 49 } 50 int main(){ 51 scanf("%d%d%d%s",&n,&m,&mod,s); 52 get_kp(); 53 for(int i=0;i<m;i++) 54 for(int j=0;j<=9;j++){ 55 int k(i); 56 while(k&&(j+'0')!=s[k]) 57 k=kp[k]; 58 if(j+'0'==s[k]) 59 k++; 60 if(k!=m){ 61 a.data[i][k]++; 62 a.data[i][k]%=mod;//cout<<'*'; 63 } 64 }//cout<<a<<endl; 65 /*for(int i=0;i<m;i++){ 66 for(int j=0;j<m;j++) 67 cout<<a[i][j]<<' '; 68 cout<<'\n'; 69 }*/ 70 for(int i=0;i<m;i++) 71 sing.data[i][i]=1; 72 int tmp(n); 73 while(tmp){ 74 if(tmp&1) 75 sing*=a; 76 a*=a; 77 //cout<<tmp<<endl; 78 //cout<<a<<endl<<sing<<endl; 79 tmp>>=1; 80 } 81 int ans(0); 82 for(int i=0;i<m;i++){ 83 ans=(ans+sing.data[0][i])%mod; 84 //cout<<ans<<endl; 85 } 86 cout<<ans; 87 //while(1); 88 }
ps：2017-6-14 晚 讲题用题解
pss：调矩阵快调死了= =，最后发现初始矩阵求错了= =
