容斥

在这里记一下各种容斥原理的特例

广义容斥不说了，那玩意不太好用，自己找系数不太现实

容斥需要构造！！！！

二项式反演

\[f(n)=\sum_{i=0}^n{n\choose i}g(i) \]

\[g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}f(i) \]

上面这个是至多形式

\[f(n)=\sum_{i=n}^m{i\choose n}g(i) \]

\[g(n)=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}{i\choose n}f(i) \]

这个是至少形式

要活泛，在枚举集合的时候系数是可以去掉的

莫比乌斯反演

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d) \]

\[g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) \]

这个多和约数有关系

还有另外一种形式，比较常用

\[f(n)=\sum_{n \mid d} g(d) \]

\[g(n)=\sum_{n|d}\mu{(\frac{d}{n})}f(d) \]

还有一个合适变换经常用到的式子

\[[n==1]=\sum_{d|n}\mu(d) \]

应用

遇见\(gcd\)就想莫比乌斯反演......

最值反演(min-max容斥)

\[max(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}min(T) \]

这个通过不断的找最小值，但是最小值中包含了最大值，把其他的消掉

也可以反过来写好像

\[min(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}max(T) \]

二项式定理可以证明......

应用

在乘法上的应用，比如\(gcd\)和\(lcm\)，一个是所有质因子指数最大，一个是所有质因子指数最小，可以用min-max容斥

在期望上的应用，这里仔细说一下在期望步数中具体的含义随机游走

定义\(S\)集合中到达第一个点的时间是最小值，到达最后一个点的时间是最大值

也就是说最小值是至少经过一个点的时间，最大值是经过所有点的时间

如何理解？？只需要意会一下为什么在min-max容斥意义下仍然合法就好了

其实最值反演就是通过不断加减最小值最后凑出来最大值，也就是说最大值是通过最小值凑出来的

你可能会认为这里的最大值应该是最小值之和？

然而每个点都有可能是最后被到达的那个点，这里并不是简单的加和，毕竟是随机游走

就像原来的集合求最值一样，我们不知道谁是最大值，于是我们在期望中也是一样的

我们只在最大值的地方有值，也就是说我们只在最后一个点那里有值......

可以将最大值看作是拍完序之后的最后一个

那么这个点集中按照经过时间排序之后求得最大值也就是一开始的定义了

一些合适的应用

所有的\(\sum\)都可以换成\(\prod\)，那么所有的系数直接放到指数上就好了