斯特林数，\(OI\)中极其常用的计数利器
依旧是为了自己复习用优秀的斯特林数及反演的博客
第一类斯特林数
\[\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}=s(n,k)
\]
定义：\(s(n,k)\)表示将\(n\)个元素分成\(k\)个圆排列的方案数
圆排列不同当且仅当形成的排列不能通过旋转得到，\(n\)个元素的圆排列方案为\((n-1)!\)
递推式
那么我们就有了第一类斯特林数的递推方程，\(\mathcal{O(n^2)}\)
\[\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix} =1
\]
\[\begin{bmatrix}n \\ k\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n-1 \\ k \end{bmatrix} *(n-1)
\]
也可以写成
\[s(n,k)=s(n-1,k-1)+s(n-1,k)*(n-1)
\]
可以这样理解，现在我要插入一个数：
1、单独形成一个新的圆排列
2、插入原来的一个圆排列，这样插入的时候原来有\((n-1)\)个数，那就有\((n-1)\)个位置可以选
其他公式
\[\sum _{k=0}^ns(n,k)=n!
\]
\(n!\)即是全排列的方案数，对应到斯特林数上
一个圆排列相当于是一个置换，那么一个排列一定是由许多个置换组成的
于是我们枚举置换的个数，就是环的个数，因为\(s(n,0)=0\)，所以我们把\(0\)也放到了公式中
\[s(n,n-1)=C_n^2
\]
这个还是挺显然的，只有一个环中有两个元素，两个元素的圆排列只有\(1\)种，就相当于是组合数
\[s(n,n-2)=2C_n^3+3C_n^4
\]
这个和上面那个类似，其实还可以继续往下写，然而没有意义了
\[s(n,2)=(n-1)!*\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}
\]
这个还不会证
\[\sum_{i=0}^{n}s(i,a)s(n-i,b){n\choose i}=s(n,a+b){a+b\choose a}
\]
这个其实挺不好想的，我们对数字进行分配，但是斯特林数是不考虑环的序号的，但是数字分配的过程中对环进行了划分
于是我们组合起来之后还要对环进行划分
第二类斯特林数
\[\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}=S(n,k)
\]
定义：\(S(n,k)\)表示将\(n\)个元素划分成\(k\)个集合的方案数，集合内无序，集合无编号
递推式
\[\begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \end{Bmatrix}=1
\]
\[\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix}*k
\]
\[S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)*k
\]
可以理解为插入一个数，要么自己形成一个集合，要么插入到原来的集合
其他公式
\[x^k=\sum_{i=1}^{k}S(k,i)*i!*C_{x}^{i}
\]
\(x^k\)相当于给你\(k\)个物品放到\(x\)个盒子中，有标号，可以空盒
那么我们枚举选几个盒子，在强行编号即可
\[S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i{k\choose i}(k-i)^n
\]
利用容斥得到此式子，枚举有几个空盒子，然后容斥，注意容斥完之后盒子是有标号的，要除以\(k!\)
一行斯特林数
上面容斥式子，可以利用卷积形式在\(\mathcal{O(nlogn)}\)的时间内求得一行斯特林数
一行斯特林数就是\(S(n,k)\)，\(k\)的取值是\([1,n]\)任意值的值
可以展开成这样的形式
\[S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i{k\choose i}(k-i)^n
\]
\[S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i\frac{k!}{i!(k-i)!}(k-i)^n
\]
\[S(n,k)=\sum_{i=0}^k(-1)^i\frac{1}{i!(k-i)!}(k-i)^n
\]
\[S(n,k)=\sum_{i=0}^k\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(k-i)^n}{(k-i)!}
\]
这个就是卷积形式了，可以直接求出一整行
应用
