期望....

这个东西好玄啊

从考试题说起

有一张有向图，每次可以删掉一个点极其所有可以到达的点，问期望多少次删完整张图

我直接爆零，为啥因为每一种方案不是等概率的，所以我爆零了

正解必须是期望线性性啊

我们删掉的次数就相当于我们删掉的点数（注意不是n，是你选择的点数）

如果想删掉当前的点，那么之前不能删掉能到达他的任何一个点

设有\(c_i\)个点可以到达当前点

那么当前点删掉的概率就是\(\frac{1}{c_i}\)

为什么？最终肯定是会删掉当前这个点的（无论是连带删除还是手动删除）

能删掉这个点的点一共有\(c_i\)个（包括自己）

选择当前点的概率是\(\frac{1}{c_i}\)，除了自己其他点就不能这样算了，因为他们的概率可能更高

这样我们只需要搜一遍就好了，或者先\(tarjan\)缩个点，直接拓扑

一道相似的题但是比这个简单\(codeforces280C\)

有向图上随机游走问题

给定一张有向无环图，每条边有一个边权，从1随机游走到n，求期望长度

题目链接：\(Luogu\)

要求期望长度，相当于让我们求每一条边的期望经过次数（在这个题准确说应该是概率，因为无环）

直接拓扑排序，最后乘上边权就行了

给定一张有向图，每条边有一个边权，从1随机游走到n，求期望长度

这个是我自己瞎编的题，但是也很简单

不保证无环，那就没有拓扑序了，也就表示出现后效性了

此时不能再递推，只能高斯消元，解方程

自己的概率等于能够到达自己的其他点的概率除以他的度数，然后相加

根据这个列出方程就行了

\(HNOI\)有一个无向图的高斯消元，题目链接：\(Luogu\)