noip模拟8[星际旅行·砍树·超级树·求和]

也不能算考得好，虽然这次A了一道题，但主要是那道题太简单了，没啥成就感，而且有好多人都A掉了

除了那一道，其他的加起来一共拿了25pts，这我能咋办，无奈的去改题

整场考试的状态并不是很好啊，不知道是刚放假回来的原因还是昨天晚上没睡好，

考试的时候一直很困，那种睁不开眼的困，然后导致我这次考试前三个题，屁大点的思路都没有

所以还是要保养好精神的，毕竟还有这么多事

所以我下次考试要保持一个好的状态，然后拿最多的分；；；

这次的考题思路极其怪癖，不对，是清奇！！！而且是想不到的清奇

 

正解：：：：

T1 星际旅行

题意：一条路径，经过两条边一次，其他的经过两次，求方案数啊

这题迷的不行，这个让求方案数，应该很多吧，然后他还不取模，我就懵圈了，这算啥方案数？？？

做取模的题做多了，以为方案数都特别大，其实也有小一些的，longlong足以解决这个题

整个就是一大模拟，对我来说，可是我一开始没有看出来咋模拟，

后来听了硕队的讲解，才明白，这是让你去边找欧拉路呐～～～

具体做法就是将所有的路径拆分成两条不同方向的路径，我们就有了2*m条路径，然后我们在这些路径中去掉两条

去掉之后，可以使这个图上的边（拆分后的边），能够一笔画完，（找之前别忘了判断图上的边是否全部联通）

我们考虑欧拉图存在的条件，有两个或者没有连奇数条边的节点，所以根据这个定义，我们可以拆掉的边只有三种情况

　　1、任意两个自环（拆自环的话，每个点的边数减少二，不会影响结果）

　　2、两个连在同一点上的边（只能这样拆，因为这样那个共同的点拆之后还是偶数，如果任意拆两条边，那么会有四个边数为奇数的点）

　　3、任意一个自环和任意一条边（自环不影响，边造成两个奇点）

所以我们在实现的时候，只需要统计有多少自环，有多少边，每个点的度数，用计数原理乘一乘就好了

注意判断是否联通的时候，可以有点没有遍历到，但是边必须都要遍历到

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
const int N=100005;
int n,m;
int to[N*2],nxt[N*2],head[N],rp;
int zi,oi,du[N];
ll ans;
void add_edg(int x,int y){
    to[++rp]=y;
    nxt[rp]=head[x];
    head[x]=rp;
}
bool vis[N],edg[N];
int vi;
void dfs(int x,int f){
    //cout<<x<<" ";
    if(vis[x])return ;
    vis[x]=1;
    for(re i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        //cout<<x<<" "<<y<<" "<<vi<<" ";
        //if(y==x)vi++;
        //cout<<vi<<endl;
        if(y==f)continue;
        vi++;
        //cout<<x<<" "<<y<<" "<<vi<<endl;
        if(vis[y]==0)dfs(y,x);
    }
}
signed main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(re i=1;i<=m;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        edg[x]=edg[y]=1;
        if(x==y){
            add_edg(x,y);
            zi++;
        }
        else{
            add_edg(x,y);
            add_edg(y,x);
            oi++;
            du[x]++;
            du[y]++;
        }
    }
    for(re i=1;i<=n;i++){
        dfs(i,0);
        if(vi!=0)break;
        vis[i]=0;
        //cout<<endl;
    }
    for(re i=1;i<=n;i++){
        if(!vis[i]&&edg[i]){
            //cout<<i<<endl;
            printf("0");return 0;
        }
    }
    ans+=1ll*zi*oi;
    ans+=1ll*zi*(zi-1)/2;
    //cout<<ans<<endl;
    for(re i=1;i<=n;i++){
        if(du[i]>1)ans+=1ll*du[i]*(du[i]-1)/2;
    }
    printf("%lld",ans);
}

T2 砍树

这个题好像比最后一个题还水：：：：

题意：每隔d天砍一次树，把比期望值高的那部分砍掉，问你在最多砍k长度的情况下，最大的d是多少

所以这个题是个数论题，我竟然没看出来，我瞬间感觉我莫比乌斯专题白学了，竟然连这个题都不会推！！！

气人，所以这个题就是一个简单的推式子，代码写出来25行不到。。。。

我们要求的就是

　　　　　　$ \sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \left \lceil \frac{a_i}{d}  \right \rceil \times d -a_i\right )\le k $

　　　　　　$ \sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \left \lceil \frac{a_i}{d}  \right \rceil \times d \right )-\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\le k $

　　　　　　$ \sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \left \lceil \frac{a_i}{d}  \right \rceil \times d \right )\le\sum\limits_{i=1}^{n}a_i+k $

　　　　　　设C = $ \sum\limits_{i=1}^{n}a_i+k $

　　　　　　$ \sum \limits_{i=1}^{n} \left \lceil \frac{a_i}{d}  \right \rceil \le \frac{C}{d}  $

　　　　　　$ \sum \limits_{i=1}^{n} \left \lceil \frac{a_i}{d}  \right \rceil \le \left \lfloor \frac{C}{d}\right \rfloor  $

所以我们就发现后面的式子就是一个关于数论分块的东西

我们就可以用分块去求每个块的左右边界了，不会自己找博客

右侧的每一个块内，一定是右边界最优，而左边，显然随着d的增加他是递减的，所以我们只需要每次判断右边界的取值然后更新答案即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
const int N=105;
int n;
ll a[N],k,ans;
signed main(){
    scanf("%d%lld",&n,&k);
    for(re i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),k+=a[i];
    for(ll l=1,r;l<=k;l=r+1){
        r=k/(k/l);
        ll tmp=0;
        for(re i=1;i<=n;i++){
            tmp+=a[i]/r;
            if(a[i]%r!=0)tmp++;
        }
        if(tmp*r<=k)ans=r;
    }
    printf("%lld",ans);
}

T3 超级树

他把所有的点到他祖先的边都连起来了，这边数多的要爆炸啊

题意：按照上面说的先构建一颗超级树，然后寻找树上的路径条数，要求要遍历每一个点不超过一次，就是说可以不走这个点，单点也算一条路径

这种题，边数如此之多，我们只能往dp的方向去想，不然你去遍历整个图啊，而且你还遍历不完，这咋办，虽然考场上我看到这个题就想困，但是我知道他是个dp

但是这个dp方程也太不正常了，我看题解理解了半个多小时，那我要是自己想得想多久啊，真不知道啥境界才能想出正解啊

设dp[i][j]表示目前i层，并且这个i层的超级树中存在j条不相交的路径的方案数

这个dp含义很难理解，第一维是没问题的，我们看看第二维

简单说就是在这个超级树里，有j条路径，并且这j条路径所覆盖的点没有重复的，就是我们沿着这j条路径走过一遍，每个点只会走一次或者不走

就是j条路径上没有重复的点。。。懂了吧，这dp多么毒瘤，光看定义就知道有多麻烦了；；；；

为什么要这样定义呢，因为我们的转移方程，是有多条路径的方案数想1条转移的，这样才能求出最后的答案

一共有五个转移方程，在转移之前我们一共有三层循环，第一层一定是层数i，第二层是左子树的j，设为l；第三层是右子树的j，设为r；

设num=dp[i][l]*dp[i][r]         就是乘法原理，两颗子树分别有这些情况合并之后自然就是乘起来了。。

　　　　　　1、我们对这颗树没有任何操作：dp[i+1][l+r]+=num    定义的重要性，根节点此时已经空出来了

　　　　　　2、我们将目前的根节点与左子树或右子树中的任意一条路径相连：dp[i+1][l+r]+=2*num*(l+r) 我们一共有l+r条路径可以连

　　　　　　　　　　　　（因为这个根已经和他子树的每一个节点相连了，每条路径都可以连上而且两端是两种情况，所以×2）

　　　　　　3、我们把根节点自己算作一个单独的路径，就有了：dp[i+1][l+r+1]+=num

　　　　　　4、我们用根节点分别连接两颗子树中的路径：dp[i+1][l+r-1]+=2*num*l*r

　　　　　　　　　　　　就是两颗子树中分别有一个路径，然后通过根的链接他变成了一条，左子树l种，右子树r种

　　　　　　5、我们用根节点去连接某一棵子树内的两条边：dp[i+1][l+r-1]+=num*(l*(l-1)+r*(r-1)) 就是左子树内两个路径变一条，或者右子树内两条变一条

这样我们就搞完了转移方程，然后你发现，这第二维有2^n这么多种情况诶，那你不超时谁超时，

但是这每一次转移都只会将每一个的第二维+1或者-1所以我们只需要n个状态

最后求的是一条路径的方案数，所以答案就是dp[n][1]啦，定义要好好理解

这样我们就可以愉愉快快的写代码啦

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
const int N=305;
ll n,mod;
ll dp[N][N];
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&mod);
    dp[1][0]=dp[1][1]=1%mod;
    for(re i=1;i<n;i++){
        for(re l=0;l<=n;l++){
            for(re r=0;r<=n-l;r++){
                ll num=dp[i][l]*dp[i][r]%mod;
                dp[i+1][l+r]+=num;
                dp[i+1][l+r+1]+=num;
                dp[i+1][l+r]+=2*num*(l+r);
                dp[i+1][l+r-1]+=2*num*l*r;
                dp[i+1][l+r-1]+=num*(l*(l-1)+r*(r-1));
                dp[i+1][l+r]%=mod;
                dp[i+1][l+r+1]%=mod;
                dp[i+1][l+r-1]%=mod;
            }
        }
    }
    printf("%lld",dp[n][1]);
}

所以，关于你超时这件事，你不觉得你的第三层循环，还是有一点多余的东西吗，所以看看我代码，自己理解为什么！！！

T4 求和

题意：给你一个树，让你求某两个点之间的路径上的所有边权的k次方之和

直接预处理前缀和，树链剖分求lca，然后减一下，这题真水！！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
const int N=310005;
const int mod=998244353;
int n,m;
int to[N*2],nxt[N*2],head[N],rp;
int sum[N][55];
void add_edg(int x,int y){
    to[++rp]=y;
    nxt[rp]=head[x];
    head[x]=rp;
}
int ksm(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1)ret=1ll*ret*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
int dep[N],siz[N],son[N],top[N],fa[N];
void dfs1(int x,int f){
    //cout<<x<<" "<<f<<endl;
    for(re i=1;i<=50;i++)sum[x][i]=(1ll*sum[f][i]+ksm(dep[x],i))%mod;
    //if(x==130934)cout<<"sb"<<endl;
    siz[x]=1;son[x]=0;
    for(re i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        //if(x==130934)cout<<i<<endl;
        if(y==f)return ;
        //if(x==130934)cout<<y<<endl;
        fa[y]=x;
        dep[y]=dep[x]+1;
        dfs1(y,x);
        siz[x]+=siz[y];
        if(!son[x]||siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;
    }
}
void dfs2(int x,int f){
    top[x]=f;
    if(son[x])dfs2(son[x],f);
    for(re i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(y==son[x]||y==fa[x])continue;
        dfs2(y,y);
    }
}
int LCA(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
signed main(){
    //int o=time(NULL);
    scanf("%d",&n);
    for(re i=1;i<n;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add_edg(x,y);
        add_edg(y,x);
    }
    //cout<<rp<<" "<<to[rp]<<endl;
    dfs1(1,0);
    //cout<<"sb"<<endl;
    dfs2(1,1);
    //cout<<"sb"<<endl;
    scanf("%d",&m);
    for(re i=1;i<=m;i++){
        int l,r,k;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
        int lca=LCA(l,r);
        int ans=(1ll*sum[l][k]+sum[r][k]+2ll*mod-sum[lca][k]-sum[fa[lca]][k])%mod;
        //if(l>300000||r>300000||k>50)cout<<"sb"<<endl;
        printf("%d\n",ans);
    }
    //cout<<time(NULL)-o<<endl;
}

完结