省选模拟101

A. 石子游戏

　　容易发现答案大约是log级别的，然后可以考虑一个暴力dp，记录当前一共选择了几个。

　　发现dp的转移顺序并不是必要的，而重复的转移也一定不优，所以可以考虑将所有状态放到一起转移，然后就可以fwt来优化了。

　　fwt的过程中不用每次都转化回去，直接用点值展开一项就可以判断有没有解。

 

B. 函数

　　是一种叫做powerful number的奇怪东西的模板题。

　　定义就是所有质因子的幂次不小于2。然后令$f=g*h$，其中$g(x)=x^k$，那么由于$h=f/g$，所以h也是积性函数，展开f在质数处的取值可以的得到h在非power number处的取值一定为0。

　　然后问题就是求出来h在所有powerful number处的取值，归纳可以得到$h(x)=x^k-x^{2k}$。

　　由于符合条件的数的个数很少，所以暴力搜索出来然后对于每个都计算贡献就行了。

 

C. 画

　　假如不存在限制，那么找到所有数最高的二进制位，将所有数根据这一位为0或1分成两组。然后分情况讨论：

　　1.若为1的一组这一位全部填1，那么向下递归。

　　2.若为1的一组有任意一个数这一位不是1，那么其他数只要满足了最高位的限制，低位不管怎么填都可以由这个数调整。

　　所以第一部分向下递归，第二部分暴力dp统计答案。

　　考虑限制，就整个容斥，钦定不满足的边集统计贡献。由于边集很大，所以考虑钦定整个点集相同，然后计算边集的方案数进行容斥。边集的方案数可以通过减去不合法的得到。

　　然后用dp将这些点集的连通块拼到一起即可。

　　考虑这个dp，发现我们要计算贡献只需要知道大小为奇数的连通块的$limit$最小的点，所以将所有这样的点压到状态里。

　　为了计数方便，我们钦定转移必须包含剩余集合中$limit$最小的点。然后暴力进行转移。复杂度看似很迷，实际上还是正确的。