省选模拟7

A. 翻转硬币

　　原题，但是思路很好。

　　看到这种区间修改的操作可以想一想差分，将原序列差分之后我们得到了不超过2k个位置，那么就下来的问题是：给定若干操作，每种操作可以将两个距离为$a[i]$的点同时取反，求将整个序列变成0的最小操作次数。

　　发现每个操作只会将两个位置同时取反，可以用bfs求出来任意将两个点同时取反且不改变其他点状态的最少步数，之后状压将这2k个点配对即可。发现每个点必然都会被合并，所以每次转移只要枚举未被选择的最小的点即可。

B. 回文子串

　　考场被我用$O(nq)$暴力水过去了。大约是暴力处理出来任意一个位置的回文半径，之后暴力扫询问区间统计答案。发现这个东西可以很容易的用线段树优化为区间赋值，单点查询某个位置的字母，区间查询一段区间的和，然而没打。

C. 最大价值

　　一个结论：选k个物品的最优方案必然包括选$k-1$个方案中的所有物品。

　　可以有一个简单的$O(n^2)$暴力：按照a排序后，$f_{i,j}$表示前i个物品中选出j个的方案数，那么$f_{i,j}=max(f_{i-1,j-1}+a_{i}*(j-1)+b_{i},f_{i-1,j})$。

　　根据上面那个结论，必然存在一个位置j使得这个j之前dp转移取后一半，之后取前一半。

　　发现这个位置对应着dp数组的差分与当前物品价值的大小关系，所以可以考虑用平衡树维护差分序列，在平衡树上二分就可以得到这个最优位置，那么只需要支持在原序列中插入一个数，区间加法即可。