根号算法

看的视频课，晕晕乎乎的看了不知道多久，快进&回放反复横跳。

有一些非常奇妙的收获，记录一下。

好乱啊。。。

 

分块：可以理解为深度为3，儿子数为$O(\sqrt{n})$的分治树。

普通莫队的比较优秀的块长是$\frac{n}{\sqrt{\frac{2m}{3}}}$

普通莫队可以奇偶性优化，即左端点块编号为奇数时右端点升序，偶数时降序。

回滚莫队解决不修改莫队问题。

带修莫对就是在普通的双参莫队上再加一维（前提是可撤销），时间复杂度是$O(n^{\frac{5}{3}})$的

树上莫队可以采用一种特殊的遍历序：进入时加入，回溯时加入，介于$dfs$序和$Euler$序之间的一种。

然后出现次数为奇数的有贡献，出现次数为偶数的没有贡献，再额外考虑一下$lca$的贡献即可。

然后就排在序列上可以乱弄了。

二次离线：我们对问题离线之后，问题产生的子问题不能合理解决，于是可以把子问题的询问再次离线。

类似分块套莫队之类的。

cache：内存大时运行较慢。这对根号算法的影响很大。

块状链表：支持$O(1)$查询第k大，O(\sqrt{n})插入或删除。将数列分为若干段然后维护多个队列，保证队列长度一定。

根号平衡：当两种操作数量级不同时，可以给次数较少的操作分配$O(\sqrt{n})$的复杂度以此为代价让操作次数多的达到$O(1)$

树上分块：（应对强制在线）。随机出根号个点，每个点离其它点的距离的期望是$O(\sqrt{n})$的。常数巨大。

复杂度优化：二分答案+分块时复杂度瓶颈在于两端的零散块（中间的两个log会被开根成一个）。考虑把零散块从二分中提出即可将整体复杂度降低。

区间逆序对数：差分+二次离线。经典题还要好好深究。

根号分治：也就是俗话讲的分大小点，小点暴力统计所有贡献以及处理好与大点的关系（类似懒标记）。大点只查找与其他大点的关系然后直接释放小点的标记。

可以分解质因数考虑的：可以利用大于$n^{\frac{1}{3}}$的质因子最多只有2个的性质，对于小质因子直接处理。

定期重构：对于复杂度没有保证的数据结构可以每$\sqrt{n}$次操作后就暴力整个重构一次来保证复杂度，总时间不大。

运用：动态点分治。不平衡时重构。