「专题总结」多项式(STAGE 1)

这么难的专题居然只给了这么短时间。。。

然而在NC的教导之下还是有一定的收获的。

必须打广告：0，1，2，3

附带一个垃圾博客：-1

按照习惯，堆砌结论而不加证明。

 

Section1 导数：

基本形式：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

一次函数：$f(x)=ax+b \rightarrow f'(x)=a$

幂函数：$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$

正弦函数：$\lim\limits_{x \rightarrow 0}sin(x)=x $，得到$f(x)=sin(ax+b) \rightarrow f'(x)=a \ cos(ax+b)$

余弦函数：$\lim\limits_{x \rightarrow 0}cos(x)=1 $，得到$f(x)=cos(ax+b) \rightarrow f'(x)=-a \ sin(ax+b)$

指数函数：$e=\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$，得到$f(x)=a^x \rightarrow f'(x)=a^x ln \  a$

　　特别的，自然对数的指数函数：$f(x)=e^x \rightarrow e^x$。即$e$可以无限求导。

对数函数：$f(x)=log_a x \rightarrow f'(x)=\frac{1}{xlna}$

　　特别的，自然对数的对数函数：$f(x)=\frac{1}{x}$

运算法则：加法，减法，常数乘法。

乘法：设$h(x)=f(x)g(x)$，有$h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

除法：设$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ ，有$h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$

复合函数：设$h(x)=f(g(x))$，有$h'(x)=f'(g(x))g'(x)$

 

逆运算——积分：

多项式不定积分：$F'(x)=f(x) ,f(x)=ax^k \rightarrow F(x)=\frac{a}{k+1} x^{k+1}$

 

Section2 导数在多项式的应用：

泰勒展开：$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i}{i!}$

麦克劳林公式：$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}$，是泰勒展开在$x_0$取0时的特殊形式。

级数求和公式：运用泰勒展开，讲简单形式与和式相互转化。

例如《在美妙的数学王国中畅游》一题中，运用泰勒展开，讲难以运算并求和的sin和exp函数都可以展开为多项式。

而多项式是可以直接相加的与自变量x无关，所以就可以用数据结构维护系数。

$e^x=\sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$

$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{i=0}^{\infty} x^i$

$\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-x)^i$

$ln(1+x)= - \sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{(-x)^i}{i} $

$sin(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^{i+1} \times \frac{x^{2i-1}}{(2i-1)!}$

$cos(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} (-1)^i \times \frac{x^{2i}}{(2i)!}$

牛顿迭代：利用泰勒展开逼近函数零点。

多项式牛顿迭代：

若已经求出$G_0(x)$，使$F(G_0(x)) \equiv 0(mod x^n)$，

则设$G(x) \equiv G_0(x)-\frac{F(G_0(x))}{F'(G_0(x))}(mod x^{2n})$，

有$F(G(x)) \equiv 0 (mod x^{2n})$

迭代使精度翻倍。应用于多项式除法。

多项式全家桶：（洛谷题库搜索“多项式模板”）

模板区：

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define pi 3.141592653589793238462643383279
#define S 262144
#define mod 1000000007
#define ll long long
const int s=(1<<15)-1;
struct cp{double r,i;
    cp operator+(cp x){return (cp){r+x.r,i+x.i};}
    cp operator-(cp x){return (cp){r-x.r,i-x.i};}
    cp operator*(cp x){return (cp){r*x.r-i*x.i,x.r*i+r*x.i};}
    void operator=(int a){r=a;i=0;}
}a1[S],a2[S],b1[S],b2[S],x2[S],x1[S],x0[S],o[2][19][S],R,X,Y;
int rev[S],n,A[S],inv[S],len=1,bit,a[S],b[S],c[S],d[S];
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)if(t&1)a=1ll*a*b%mod;return a;}
ll r(cp x){return (ll)(floor(x.r+0.5))%mod;}
void FFT(cp *a,int opt){
    for(int i=1;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
    for(int i=1;i<len;++i)if(rev[i]>i)R=a[i],a[i]=a[rev[i]],a[rev[i]]=R;
    for(int mid=1,p=0;mid<len;mid<<=1,p++)for(int i=0;i<len;i+=mid<<1)for(int j=i;j<i+mid;++j)
        X=a[j],Y=a[j+mid]*o[opt>0][p][j-i],a[j]=X+Y,a[j+mid]=X-Y;
    if(opt==-1)for(int i=0;i<len;++i)a[i].r/=len;
}
void MTT(int *a,int *b,int *c){
    for(int i=0;i<len;++i)a1[i]=a[i]&s,a2[i]=a[i]>>15,b1[i]=b[i]&s,b2[i]=b[i]>>15;
    FFT(a1,1);FFT(a2,1);FFT(b1,1);FFT(b2,1);
    for(int i=0;i<len;++i)x2[i]=b2[i]*a2[i],x0[i]=b1[i]*a1[i],x1[i]=b2[i]*a1[i]+b1[i]*a2[i];
    FFT(x2,-1);FFT(x1,-1);FFT(x0,-1);
    for(int i=0;i<len;++i)c[i]=(((r(x2[i])<<30)+(r(x1[i])<<15)+r(x0[i]))%mod+mod)%mod;
}
void divide(int n){
    if(n==1){inv[0]=pow(A[0],mod-2);return;}
    divide(n+1>>1);len=1;while(len<n<<1)len<<=1;
    for(int i=0;i<len;++i)a[i]=(i<n)*A[i],b[i]=inv[i]*(i<n+1>>1);
    MTT(a,b,c);MTT(c,b,d);
    for(int i=0;i<len;++i)inv[i]=(b[i]*2-d[i]+mod)%mod;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&A[i]);
    while(len<n<<1)len<<=1;
    for(int i=0;1<<i<len;++i)for(int j=0;j<1<<i;++j)
        o[0][i][j]=(cp){cos(pi/(1<<i)*j),sin(pi/(1<<i)*j)},
        o[1][i][j]=(cp){cos(pi/(1<<i)*j),-sin(pi/(1<<i)*j)};
    divide(n);for(int i=0;i<n;++i)printf("%d ",inv[i]);puts("");
}

#include<cstdio>
#define int long long
#define mod 998244353
#define S 1<<20
int rev[S],F[S],G[S],Q[S],n,m,len=1,ra[S],rb[S],iG[S],RA[S],RB[S];
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;}
void NTT(int *a,int opt){
    for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
    for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
    for(int mid=1;mid<len;mid<<=1)
        for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1)
            for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=w*t%mod)
                x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod;
    if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod;
}
void re(int *a,int n){for(int i=0,j=n-1;i<j;++i,--j)a[i]^=a[j]^=a[i]^=a[j];}
void pt(int *a,int n){for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",a[i]);puts("");}
void mul(int *a,int la,int *b,int lb,int *c){
    len=1;while(len<la+lb<<1)len<<=1;
    for(int i=0;i<len;++i)ra[i]=rb[i]=0;
    for(int i=0;i<la;++i)ra[i]=a[i];
    for(int i=0;i<lb;++i)rb[i]=b[i];
    NTT(ra,1);NTT(rb,1);
    for(int i=0;i<len;++i)c[i]=ra[i]*rb[i]%mod;
    NTT(c,-1);
}
void mul(int *a,int *b,int *c){
    for(int i=0;i<len;++i)ra[i]=a[i],rb[i]=b[i];
    NTT(ra,1);NTT(rb,1);
    for(int i=0;i<len;++i)c[i]=ra[i]*rb[i]%mod;
    NTT(c,-1);
}
void inv(int *a,int x,int *b){
    if(x==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return;}
    inv(a,x+1>>1,b);len=1;while(len<x<<1)len<<=1;
    for(int i=0;i<len;++i)RA[i]=RB[i]=0;
    for(int i=0;i<x;++i)RA[i]=a[i];
    for(int i=0;i<x+1>>1;++i)RB[i]=b[i];
    mul(RA,RB,RA);mul(RA,RB,RA);
    for(int i=0;i<x;++i)b[i]=(RB[i]+RB[i]-RA[i]+mod)%mod;
}
main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);n++;m++;
    for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&F[i]);
    for(int i=0;i<m;++i)scanf("%lld",&G[i]);
    re(F,n);re(G,m);inv(G,n-m+1,iG);mul(F,n,iG,n-m+1,Q);re(Q,n-m+1);pt(Q,n-m+1);
    re(G,m);mul(Q,n-m+1,G,m,Q);re(F,n);
    for(int i=0;i<m-1;++i)printf("%lld ",(F[i]-Q[i]+mod)%mod);puts("");
}

#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
map<int,int>M;
#define mod 998244353
#define S 1<<19
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)if(t&1)a=1ll*a*b%mod;return a;}
int BSGS(int x){
    int k=pow(3,100000),I=pow(3,mod-2);
    for(int i=0,p=1;i<mod;i+=100000,p=1ll*p*k%mod)M[p]=i;
    for(int i=0,p=1;i<100000;++i,p=1ll*I*p%mod)if(M.find(1ll*x*p%mod)!=M.end())
        return i+M[1ll*x*p%mod];
}
int rev[S],a[S],s[S],A[S],b[S],ra[S],rb[S],R[S],len,n,r[S];
#define mat len=1;while(len<n<<1)len<<=1
void NTT(int *a,int opt){
    for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
    for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
    for(int mid=1;mid<len;mid<<=1)
        for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1)
            for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=1ll*w*t%mod)
                x=a[j],y=1ll*a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod;
    if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=1ll*a[i]*iv%mod;
}
void mul(int *a,int *b,int *c,int opt=1){
    NTT(a,1);NTT(b,1);
    for(int i=0;i<len;++i)c[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    NTT(c,-1);if(opt)NTT(b,-1);
}
void inv(int n){
    if(n==1){r[0]=pow(b[0],mod-2);return;}
    inv(n+1>>1);mat;
    for(int i=0;i<len;++i)ra[i]=i<n?b[i]:0,rb[i]=i<n+1>>1?r[i]:0;
    mul(ra,rb,R);mul(R,rb,R);
    for(int i=0;i<len;++i)r[i]=(0ll+rb[i]+rb[i]-R[i]+mod)%mod;
}
void sqr(int n){
    if(n==1){s[0]=pow(3,BSGS(A[0])/2);if(s[0]>mod-s[0])s[0]=mod-s[0];return;}
    sqr(n+1>>1);mat;
    for(int i=0;i<len;++i)a[i]=i<n?A[i]:0,b[i]=i<n+1>>1?s[i]:0;
    inv(len>>1);mat;for(int i=len>>1;i<len;++i)r[i]=0;
    mul(a,r,R,0);for(int i=0;i<len;++i)s[i]=(b[i]+R[i])*499122177ll%mod;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&A[i]);
    sqr(n);
    for(int i=0;i<n;++i)printf("%d ",s[i]);puts("");
}

#include<cstdio>
#define int long long
#define mod 998244353
#define S 1<<19
int n,len,rev[S],A[S],iA[S],ra[S],rb[S],Ra[S],Rb[S],ans[S],l1[S],l2[S];
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;}
void deriv(int *a,int n,int *b){for(int i=0;i<n-1;++i)b[i]=a[i+1]*(i+1)%mod;b[n-1]=0;}
void integ(int *a,int n,int *b){for(int i=n-1;i;--i)b[i]=a[i-1]*pow(i,mod-2)%mod;b[0]=0;}
void NTT(int *a,int opt){
    for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
    for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
    for(int mid=1;mid<len;mid<<=1)
        for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1)
            for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=w*t%mod)
                x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod;
    if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod;
}
void pt(int *a,int n=len){for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",a[i]);puts("");}
void mat(int x){len=1;while(len<x)len<<=1;}
void mul(int *a,int *b,int *c){
    for(int i=0;i<len;++i)Ra[i]=a[i],Rb[i]=b[i];
    NTT(Ra,1);NTT(Rb,1);for(int i=0;i<len;++i)c[i]=Ra[i]*Rb[i]%mod;NTT(c,-1);
}
void inv(int *a,int n,int *b){
    if(n==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return;}
    inv(a,n+1>>1,b);mat(n<<1);
    for(int i=0;i<len;++i)ra[i]=rb[i]=0;
    for(int i=0;i<n;++i)ra[i]=a[i];
    for(int i=0;i<n+1>>1;++i)rb[i]=b[i];
    mul(ra,rb,ra);mul(ra,rb,ra);
    for(int i=0;i<n;++i)b[i]=(rb[i]+rb[i]-ra[i]+mod)%mod;
}
void ln(int *a,int *b,int n){inv(a,n,l1);deriv(a,n,l2);mat(n<<1);mul(l1,l2,b);integ(b,n,b);}
main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&A[i]);
    ln(A,ans,n);
    for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",ans[i]);puts("");
}

#include<cstdio>
#define int long long
#define mod 998244353
#define S 1<<19
int rev[S],len,n,A[S],ans[S];
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;}
void NTT(int *a,int opt){
    for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
    for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
    for(int mid=1;mid<len;mid<<=1)
        for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1)
            for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=w*t%mod)
                x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod;
    if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod;
}
void pt(int *a,int n=len){for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",a[i]);puts("");}
void mat(int x){len=1;while(len<x)len<<=1;}
void deriv(int *a,int n,int *b){for(int i=1;i<n;++i)b[i-1]=a[i]*i%mod;b[n-1]=0;}
void integ(int *a,int n,int *b){for(int i=1;i<n;++i)b[i]=a[i-1]*pow(i,mod-2)%mod;b[0]=0;}
int r1[S],r2[S];
void mul(int *a,int *b,int *c){
    for(int i=0;i<len;++i)r1[i]=a[i],r2[i]=b[i];
    NTT(r1,1);NTT(r2,1);for(int i=0;i<len;++i)c[i]=r1[i]*r2[i]%mod;NTT(c,-1);
}
int v1[S],v2[S];
void inv(int *a,int n,int *b){
    if(n==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return;}
    inv(a,n+1>>1,b);mat(n<<1);
    for(int i=0;i<len;++i)v1[i]=v2[i]=0;
    for(int i=0;i<n;++i)v1[i]=a[i];
    for(int i=0;i<n+1>>1;++i)v2[i]=b[i];
    mul(v1,v2,v1);mul(v1,v2,v1);
    for(int i=0;i<n;++i)b[i]=(v2[i]+v2[i]-v1[i]+mod)%mod;
}
int n1[S],n2[S];
void ln(int *a,int n,int *b){deriv(a,n,n1);inv(a,n,n2);mat(n<<1);mul(n1,n2,n1);integ(n1,n,b);}
int e[S];
void exp(int *a,int n,int *b){
    if(n==1){b[0]=1;return;}
    exp(a,n+1>>1,b);ln(b,n,e);
    for(int i=0;i<n;++i)e[i]=(a[i]-e[i]+mod)%mod;e[0]++;
    mat(n<<1);mul(b,e,b);
    for(int i=n;i<len;++i)b[i]=0;
}
main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&A[i]);
    exp(A,n,ans);pt(ans,n);
}

#include<cstdio>
#define int long long
#define mod 998244353
#define S 1<<20
int rev[S],len,n,k,c,A[S],r1[S],r2[S],v1[S],v2[S],e[S],n1[S],n2[S],p[S],ans[S],I;
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;}
void NTT(int*a,int opt){
    for(int i=0;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
    for(int i=0;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
    for(int mid=1;mid<len;mid<<=1)
        for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/mid/2*opt+mod-1);i<len;i+=mid<<1)
            for(int j=i,x,y,w=1;j<i+mid;++j,w=w*t%mod)
                x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod;
    if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod;
}
void pt(int*a,int n=len){for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld ",a[i]);puts("");}
void mat(int x){len=1;while(len<x)len<<=1;}
void deriv(int*a,int n,int*b){for(int i=0;i<n;++i)b[i]=a[i+1]*(i+1)%mod;}
void integ(int*a,int n,int*b){for(int i=1;i<n;++i)b[i]=a[i-1]*pow(i,mod-2)%mod;b[0]=0;}
void mul(int*a,int*b,int*c){
    for(int i=0;i<len;++i)r1[i]=a[i],r2[i]=b[i];
    NTT(r1,1);NTT(r2,1);for(int i=0;i<len;++i)c[i]=r1[i]*r2[i]%mod;NTT(c,-1);
}
void inv(int*a,int n,int*b){
    if(n==1){b[0]=pow(a[0],mod-2);return;}
    inv(a,n+1>>1,b);mat(n<<1);
    for(int i=0;i<len;++i)v1[i]=v2[i]=0;
    for(int i=0;i<n;++i)v1[i]=a[i];
    for(int i=0;i<n+1>>1;++i)v2[i]=b[i];
    mul(v1,v2,v1);mul(v1,v2,v1);
    for(int i=0;i<n;++i)b[i]=(v2[i]+v2[i]-v1[i]+mod)%mod;
}
void ln(int*a,int n,int*b){
    deriv(a,n,n1);inv(a,n,n2);mat(n<<1);
    for(int i=n;i<len;++i)n1[i]=n2[i]=0;
    mul(n1,n2,n1);integ(n1,n,b);
}
void exp(int*a,int n,int*b){
    if(n==1){b[0]=1;return;}
    exp(a,n+1>>1,b);ln(b,n,e);
    for(int i=0;i<n;++i)e[i]=(a[i]-e[i]+mod)%mod;e[0]++;
    mat(n<<1);for(int i=n;i<len;++i)e[i]=0;mul(e,b,b);
}
void pow(int*a,int n,int*b,int k){ln(a,n,p);for(int i=0;i<n;++i)p[i]=p[i]*k%mod;exp(p,n,b);}
main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(int i=0,x=1;i<n;++i)scanf("%lld",&A[i-c]),x*=(!A[i-c]),c+=x;
    I=pow(A[0],mod-2);for(int i=0;i<n-c;++i)A[i]=A[i]*I%mod;pow(A,n-c,ans,k);
    I=pow(I,(mod-2)*k);for(int i=0;i<n-c;++i)ans[i]=ans[i]*I%mod;
    for(int i=0;i<c*k&&i<n;++i)printf("0 ");
    for(int i=0;i<n-c*k;++i)printf("%lld ",ans[i]);puts("");
}

 

 

Section 3：各种卷积性变换

FFT：运用复数单位根进行插值变换

NTT：运用原根进行插值变换

FWT：运用位运算卷积（与/或/异或）

MTT：任意模数NTT

#include<cstdio>
#define int long long
#define S 262144
#define m1 167772161
#define m2 998244353
#define m3 1004535809
const int M=1ll*m1*m2,R=m2%m1;
int mod,len=1,rev[S],a[S],b[S],ra[S],rb[S],ans[3][S],n,m,p,c;
int pow(int b,int t,int m,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%m)if(t&1)a=a*b%m;return a;}
int mul(int x,int y,int a=0){for(;y;y>>=1,x=(x+x)%M)if(y&1)a=(a+x)%M;return a;}
void NTT(int *a,int opt){
    for(int i=1;i<len;++i)if(rev[i]>i)a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
    for(int mid=1;mid<len;mid<<=1)
        for(int i=0,t=pow(3,(mod-1)/2/mid*opt+mod-1,mod);i<len;i+=mid<<1)
            for(int j=i,w=1,x,y;j<i+mid;++j,w=w*t%mod)
                x=a[j],y=a[j+mid]*w%mod,a[j]=(x+y)%mod,a[j+mid]=(x-y+mod)%mod;
    if(opt==-1)for(int i=0,iv=pow(len,mod-2,mod);i<len;++i)a[i]=a[i]*iv%mod;
}
void solve(int x){mod=x;
    for(int i=0;i<len;++i)a[i]=ra[i],b[i]=rb[i];
    NTT(a,1);NTT(b,1);
    for(int i=0;i<len;++i)ans[c][i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(ans[c],-1);c++;
}
int cal(int a,int b,int c){
    int x=((mul(a*m2%M,pow(R,m1-2,m1)))+mul(b*m1%M,pow(m1,m2-2,m2)))%M;
    int y=((c-x)%m3+m3)%m3*pow(M%m3,m3-2,m3)%m3%p;return (M%p*y+x)%p;
}
main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
    for(int i=0;i<=n;++i)scanf("%lld",&ra[i]);
    for(int i=0;i<=m;++i)scanf("%lld",&rb[i]);
    while(len<=n+m+1)len<<=1;
    for(int i=1;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
    solve(m1);solve(m2);solve(m3);
    for(int i=0;i<=n+m;++i)printf("%lld ",cal(ans[0][i],ans[1][i],ans[2][i]));
}

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define pi 3.141592653589793238462643383279
#define S 262144
#define mod 1000000007
#define ll long long
const int s=(1<<15)-1;
struct cp{double r,i;
    cp operator+(cp x){return (cp){r+x.r,i+x.i};}
    cp operator-(cp x){return (cp){r-x.r,i-x.i};}
    cp operator*(cp x){return (cp){r*x.r-i*x.i,x.r*i+r*x.i};}
    void operator=(int a){r=a;i=0;}
}a1[S],a2[S],b1[S],b2[S],o[2][19][S],X,Y,A1,A2,B1,B2;
int rev[S],n,A[S],inv[S],len=1,bit,a[S],b[S],c[S];
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)if(t&1)a=1ll*a*b%mod;return a;}
ll r(cp x){return (ll)(floor(x.r+0.5))%mod;}
void FFT(cp *a,int opt){
    for(int i=1;i<len;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1?len>>1:0);
    for(int i=1;i<len;++i)if(rev[i]>i)X=a[i],a[i]=a[rev[i]],a[rev[i]]=X;
    for(int mid=1,p=0;mid<len;mid<<=1,p++)for(int i=0;i<len;i+=mid<<1)for(int j=i;j<i+mid;++j)
        X=a[j],Y=a[j+mid]*o[opt>0][p][j-i],a[j]=X+Y,a[j+mid]=X-Y;
    if(opt==-1)for(int i=0;i<len;++i)a[i].r/=len;
}
void MTT(int *a,int *b,int *c){
    for(int i=0;i<len;++i)a1[i]=a[i]&s,a2[i]=a[i]>>15,b1[i]=b[i]&s,b2[i]=b[i]>>15;
    FFT(a1,1);FFT(a2,1);FFT(b1,1);FFT(b2,1);
    for(int i=0;i<len;++i)A1=a1[i],B1=b1[i],A2=a2[i],B2=b2[i],
        a1[i]=B2*A2,a2[i]=B1*A1,b1[i]=B2*A1+B1*A2;
    FFT(b1,-1);FFT(a2,-1);FFT(a1,-1);
    for(int i=0;i<len;++i)c[i]=(((r(a1[i])<<30)+(r(b1[i])<<15)+r(a2[i]))%mod+mod)%mod;
}
void divide(int n){
    if(n==1){inv[0]=pow(A[0],mod-2);return;}
    divide(n+1>>1);len=1;while(len<n<<1)len<<=1;
    for(int i=0;i<len;++i)a[i]=(i<n)*A[i],b[i]=inv[i]*(i<n+1>>1);
    MTT(a,b,c);MTT(c,b,c);
    for(int i=0;i<len;++i)inv[i]=(b[i]*2-c[i]+mod)%mod;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&A[i]);
    while(len<n<<1)len<<=1;
    for(int i=0;1<<i<len;++i)for(int j=0;j<1<<i;++j)
        o[0][i][j]=(cp){cos(pi/(1<<i)*j),sin(pi/(1<<i)*j)},
        o[1][i][j]=(cp){cos(pi/(1<<i)*j),-sin(pi/(1<<i)*j)};
    divide(n);for(int i=0;i<n;++i)printf("%d ",inv[i]);puts("");
}

for(int i=1;i<len;++i)for(int j=0;j<len;j+=i)for(int k=j;k<j+i;++k)a[k+i]+=a[k]*opt;//or
for(int i=1;i<len;++i)for(int j=0;j<len;j+=i)for(int k=j;k<j+i;++k)a[k]+=a[k+i]*opt;//and
for(int i=1;i<len;++i)for(int j=0;j<len;j+=i)for(int k=j;k<j+i;++k)
    a[k]+=a[k+i],a[k+i]=a[k]-a[k+i]*2,a[k],a[k]/=(opt==-1?2:1),a[k+i]/=(opt==-1?2:1);//xor

 

Section 4:母函数

OGF：$F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_ix^i$。常用于组合。

EGF：$F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{a_i}{i!}x^i$。常用于排列。

主要就是用于把数列带入需要化简的式子，以便于进行多项式运算。