「专题总结」各种数和各种反演（所谓FFT的前置知识？）

每次问NC做多项式的题需要什么知识点。

各种数。

各种反演。

多项式全家桶。

然后我就一个一个地学知识点。然而还差好多，学到后面的前面的已经忘了（可能是我太菜吧不是谁都是NC啊）

然后发现每个知识点基本只做一道题，肯定会忘，所以再归纳一下。

不附证明只写结论以便查阅，如果需要证明还是自行百度。

 

第一类斯特林数

• 含义：$\left[ ^k_n \right]$表示讲n个元素划分为k个环的方案数。
• 递推公式：$\left[ ^k_n \right] = \left[ ^k_{n-1} \right] \times (n-1)+ \left[ ^{k-1}_{n-1} \right]$
• 求一行：$\left[ ^k_n \right]$是多项式$f_n(x) = \prod\limits_{i=0}^{n-1} (x+i)$的k次项系数。这个多项式乘法可以进行分治递归求解，复杂度$O(nlog^2n)$。存在$O(nlogn)$的做法，比较复杂，贴一个链接。
• 应用：$x^{\overline{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n} \left[ ^k_n \right] x^k$。比较少见。

 

第二类斯特林数

• 含义：$\left\{ ^k_n \right\}$表示讲n个元素划分为k个集合的方案数。
• 递推公式：$\left\{ ^k_n \right\} =\left\{ ^k_{n-1} \right\} \times k+ \left\{ ^{k-1}_{n-1} \right\}$
• 求单点/一行：$\left \{ ^n_k \right \}=\sum\limits_{i=0}^{k} \frac{(-1)^{k-i} \times i^n}{(k-i)! \times i!}$。单点直接$O(n)$枚举，一行的话NTT算卷积。
• 应用：$x^n=\sum\limits_{i=0}^{n} \left \{ ^n_k \right \} \times \frac{x!}{(x-i)!}$。
• 例题：《图的价值》

 

伯努利数

• 含义：$\sum\limits_{i=1}^{n} i^d = \frac{1}{d+1} \sum\limits_{i=0}^{d} C_{d+1}^{i} B_i n^{d+1-i} $。其中的系数$B_i$就是伯努利数。
• 递推公式：$ \sum\limits_{k=0}^{n} C_{n+1}^{k} \times B_k =0 $ 。复杂度是$O(n^2)$的。
• 求值：运用多项式求逆可以做到$O(nlogn)$。然而我还不会，贴一个链接。
• 应用：自然数幂和（常用）。与两类斯特林数可以转化。
• 例题：《一个人的数论》其实这个题并不很伯努利但是我做题太少。。。

 

莫比乌斯函数

• 含义：$\mu(prime)=-1$，$\mu(i^2 \times x)=0$,else $\mu(x)=1$
• 求值：线筛。杜教筛求前缀和。
• 应用：容斥系数，莫比乌斯反演。
• 例题：太多。

 

欧拉函数

• 含义：比x小且与x互质的数的个数
• 求值：线筛。
• 应用：容斥系数，欧拉反演。
• 例题：不少。

 

反演（个人理解）

• 含义：你现在有用g函数得到f函数的公式，把它转化为用f函数表示g函数的形式。
• 基本形式：$f(n) = \sum\limits_{condition1} g(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{condition2} f(i)$

 

二项式反演

• 基本形式：$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}  (-1)^{i} \times C_n^i \times g(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}  (-1)^{i} \times C_n^i \times f(i)$
• 常用形式：$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} C_n^i \times g(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}  (-1)^{n-i} \times C_n^i \times f(i)$
• 应用：证明其它反演，化简带组合数的式子。
• 例题：《染色》

 

莫比乌斯反演

• 基本形式：$f(n)=\sum\limits_{d|n} g(d) \Leftrightarrow g(n) = \sum\limits_{d|n} f(d) \times \mu(\frac{n}{d})$
• 常用形式：$[n]=\sum\limits_{d|n} \mu(d)$。
• 应用：gcd/lcm之类的有关倍数，因子之类的题目。
• 例题：《一个人的数论》

 

欧拉反演

• 基本形式：$n=\sum\limits_{d|n} \phi(d)$
• 应用：gcd/lcm之类的玩意。

 

子集反演

• 基本形式：$f(S)=\sum\limits_{T \subseteq S} g(T) \Leftrightarrow g(S) = \sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|S|-|T|}\times f(T)$
• 应用：与FWT结合求解子集类问题。
• 例题：《遗失的答案》（还不会做正在学习）

 

待补。。。