一个人的高三楼：多项式卷积，生成函数

Description：

一天的学习快要结束了，高三楼在晚自习的时候恢复了宁静。
不过，HSD 桑还有一些作业没有完成，他需要在这个晚自习写完。比如这道数学题：

1、给出一个数列，求它的前i项和$S_i$

HSD 桑擅长数学，很快就把这题秒了……
然而还有第二题：

2、如果把上一问的前n项和看成一个新数列，请求出它的i项和

 

看完第二题，还有第三题……HSD 桑已经预感到情况不妙了。
HSD 桑大致看了看题，发现有些规律。其实就是在求

次前缀和。如果我们借用函数迭代的标记，就是在求 $S_n^{(k)}$
HSD 桑还有很多作业要写，请你帮助他完成这项作业。$mod \ 998244353$

$n \leq 100000 , k \leq 2^{63}$

时限：100ms

 

废话：

挺好的一道题。skyh一直在跟我说LNC给他颓了题解于是我也来做了。

然而我并不会于是打表找规律直接发现$O(n\ log\ n)$的式子然后就完了。

但是实际上丢了一个中间步骤$O(n\ log \ n log \  k)$

 

题解：

设我们要求的$S_n^{(k)}$的生成函数$F_{(k)}(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} S_{i+1}^{(k)} x^i$

然后考虑前缀和的过程，就是每一项都累加前面的所有项，也可以理解为每个数都为后面的项做贡献

那么感觉好像已经有卷积形式了，让我们吧这个“贡献”方式也写成生成函数：

$G(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}x^i$

然后按照贡献规则我们能知道$F_{(k+1)}(x)=F_{(k)}(x) \times G(x)$

生成函数就是多项式了，这很卷积，于是我们用快速幂的方式分别卷一下$F$和$G$就行。

这样的复杂度是$O(n\ log \ n log \  k)$的。时限故意卡掉了。

考虑这个$G$函数的具体意义：在$F$函数的表上往下走一步的同时往右走了若干步

根据范德蒙恒等式（我还是喜欢叫枣树定理），组合数可以合并成一个

那么最后我们能知道它的答案就是$f[i]=\sum\limits_{j=1}^{i} C_{k-1+i-j}^{k-1}  \times g[j]$

其中$g$是原数组，$f$是答案数组。

然后这是一个比较明显的卷积。至于怎么求组合数？

线性递推一乘一除就好了，k太大要及时取模。

#include<cstdio>
#define mod 998244353
#define int long long
int n,C[300000],x[300000],k,bin=1,rev[300000],INV;
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;}
void NTT(int *a,int opt){
    for(int i=0;i<bin;++i)if(i<rev[i])a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
    for(int mid=1,wn;mid<bin;mid<<=1){
        wn=pow(3,(mod-1)/2/mid*opt+mod-1);
        for(int i=0;i<bin;i+=mid<<1)
            for(int j=0,w=1;j<mid;++j,w=w*wn%mod){
                int x=a[i+j],y=a[i+j+mid]*w%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+mid]=(x-y+mod)%mod;
            }
    }
    if(opt==-1)for(int i=0;i<bin;++i)a[i]=a[i]*INV%mod;
}
main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);k%=mod;
    while(bin<=n<<1)bin<<=1; INV=pow(bin,mod-2);
    for(int i=1;i<bin;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)*bin>>1;
    for(int i=0;i<n;++i)scanf("%lld",&x[i]);
    C[0]=1;
    for(int i=1;i<n;++i)C[i]=C[i-1]*(k+i-1)%mod*pow(i,mod-2)%mod;
    NTT(C,1);NTT(x,1);
    for(int i=0;i<bin;++i)x[i]=x[i]*C[i]%mod;
    NTT(x,-1);
    for(int i=0;i<n;++i)printf("%lld\n",x[i]);
}