求和：fft，表达式化简

$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} S(i,j) \times 2^j \times j!$

其中$S(i,j)$为第二类斯特林数,公式为$S(i,j)=\frac{1}{j!} \sum\limits_{k=0}^{j} (-1)^k C(j,k) (j-k)^i$

求$f(n)$,$n<=100000$,答案对$998244353(=2^{23} \times 7 \times 17 + 1)$取模

 

 

$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} 2^j \times \sum\limits_{k=0}^{j} (-1)^k \times \frac{j!}{k! \times (j-k)!} \times (j-k)^i$

$=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} 2^j \times j! \times \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{(j-k)^i}{(j-k)!} \times \frac{(-1)^k}{k!}$

$=\sum\limits_{j=0}^{n} 2^j \times j! \times \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{\sum\limits_{i=0}^{n}(j-k)^i}{(j-k)!} \times \frac{(-1)^k}{k!}$

可以发现，$\sum\limits_{i=0}^{n}(j-k)^i$项就是一个等比数列求和，可以快速幂求出。

那么两个分数分别只与j-k和k有关了，相乘的话，就是卷积形式FFT求出，枚举最外层j即可。

 

Update10/04:

终于抽出时间码完啦，少打了一个等号调了半天～

#include<cstdio>
#define mod 998244353
#define int long long
int rev[400005],bin=1,n,fac[100005],inv[100005],invv[100005],INV,sumpw[100005];
int a[400005],b[400005],sum;
int pow(int b,int t,int a=1){for(;t;t>>=1,b=b*b%mod)if(t&1)a=a*b%mod;return a;}
void NTT(int *a,int opt){
    for(int i=1;i<bin;++i)if(i<rev[i])a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
    for(int mid=1,wn=pow(3,mod-1>>1);mid<bin;mid<<=1,wn=pow(3,(mod-1)/2/mid*opt+mod-1))
        for(int i=0;i<bin;i+=mid<<1)
            for(int j=0,w=1;j<mid;++j,w=w*wn%mod){
                int x=a[i+j],y=a[i+j+mid]*w%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+mid]=(mod+x-y)%mod;
            }
    if(opt==-1)for(int i=0;i<bin;++i)a[i]=a[i]*INV%mod;
}
main(){
    scanf("%lld",&n);
    while(bin<=n<<1)bin<<=1;//printf("%lld\n",bin);
    for(int i=1;i<bin;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)*bin>>1;
    INV=pow(bin,mod-2);
    fac[1]=inv[1]=invv[1]=fac[0]=inv[0]=sumpw[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,invv[i]=-mod/i*invv[mod%i]%mod+mod,inv[i]=inv[i-1]*invv[i]%mod;
    sumpw[1]=n+1;for(int i=2;i<=n;++i)sumpw[i]=(pow(i,n+1)-1)*invv[i-1]%mod;
    for(int i=0;i<=n;++i)a[i]=sumpw[i]*inv[i]%mod,b[i]=pow(mod-1,i)*inv[i]%mod;//,printf("%lld %lld\n",a[i],b[i]);
    NTT(a,1);NTT(b,1);
    for(int i=0;i<bin;++i)a[i]=a[i]*b[i]%mod;
    NTT(a,-1);//for(int i=0;i<bin;++i)printf("%lld\n",a[i]);
    for(int j=0;j<=n;++j)sum=(sum+pow(2,j)*fac[j]%mod*a[j])%mod;
    printf("%lld\n",sum);
}