visit：组合数学，ex_Lucas
没做过ex_Lucas的同学可以先看看这个：组合数学专题《礼物》题解。顺便把那道题水了。
强烈推荐tdcp的解，只用求2个组合数，考场打表，没有为什么：666
有一个公式蛮重要的，竟然还有人不知道？
有一共n种共k个物品，每一种有a1,a2,a3...an个，它们本质不同的排列数是
$ \frac{k!}{a_1 ! \times a_2 ! \times a_3 ! \times ... \times a_n !} (\sum\limits_{i=1}^n a_i =k) $
要解释嘛？解释一下吧。
首先对所有物品进行全排列，k！
而对于每一种物品，把它从这k个里提出来，其内部的顺序被重复计算了
所以要除掉它内部的全排列，即ai！。
那么接下来我们来看着道题。
首先，我们可以发现，nm的正负对解题没有影响，统一把它当作正的就好（向右，上为正方向）
那么如果我们一共向左走了a步，那么必须向右走n+a步，同理向下b步就要向上m+b步.(a,b,n-a,m-b均为自然数)
t=(a)+(n+a)+(b)+(m+b)=n+m+2a+2b
t-n-m=2a+2b=2(a+b)
所以说，如果t-n-m为奇数或负数，方案数为0。
在这个式子里面我们未知的只有a和b。枚举其一就能得到另一个。
假如我们现在已经确定了一对a，b，如何求解方案数？
我们有a左(n+a)右b下(m+b)上，我们现在要求这些操作的排列数。
根据我开头说的那个式子，就挺好写出算式了：（开头那个式子记住吧，挺重要的）
$ \frac{t !}{a !\times b! \times (n+a)! \times (m+b)!} $
接下来的问题是如何计算。。。
对于60%的数据，p是一个质数，简单啊，直接Lucas或阶乘逆元硬干就好了啊
（如果你连朴素Lucas都不知道，那我救不了你了）
但是对于全部数据，p可以是一个合数。。。就是礼物那道题了。
分解p得到若干质数，对于这些质数取模分别求解。
在求解对于某一个分解后的质数取模时，套一个朴素Lucas即可。
最后一个CRT合并答案。
---接下来你可以选择不看---
然而我打的十分麻烦。。。我并没有发现需要ex_Lucas和普通Lucas。我以为直接CRT就可以。
然而40分。懵了一阵。
仔细一看发现，因为它有小质数所以会爆炸。
如果要计算$1 \times 3 \div 3 (mod 3)$，那么我会先算1×3=3,取模变成0，在除以3还是0。
呃。。。什么玩意啊！
后来一想，它不就像ex_Lucas一样吗？只要分离记录那个质数的次数不就好了吗？
然后我就暴力计算指数的次数，暴力算阶乘。
那么在上式枚举的过程中，a每增大1，组合数怎么计算？
我很“机智”的想到了，这不和划艇那题的组合数递推挺像吗？（错误的“做题长记性”）
既然a是枚举的，每当a增大1，那个式子只需要除a再除n+a再乘b+1再乘m+b+1不就好了吗？
乘除不能直接乘除，要把分解后的质数提出来。完事！
完美。
完美？
对，对，对是对了，运行倒数第二，码长也十分惊人。
但是因为没有预处理阶乘和逆元，少开了不少数组，内存492k倒是最小的。
思维量挺大，理论上是好事，可是在考场上。。。
不建议按我这个思路打，但是你们可以顺着我的思路想一想，万一用上了呢？
好了，就这样吧，有什么不懂的去评论区喷我就行，看到就回复。
这题讲的有点草率，因为要去写T3的题解。
哦对了，还有，因为我的思路清奇，所以代码还是去颓别人的吧。
1 #include<cstdio> 2 #define int long long 3 #define orz mod[modi] 4 int Mod,mod[11],mods,t,n,m,ans[11],Ans,x,y; 5 int pow(int b,int mod,int ans=1){ 6 for(int t=mod-2;t;t>>=1,b=b*b%mod) if(t&1) ans=ans*b%mod; 7 return ans; 8 } 9 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ 10 if(!b){x=1;y=0;return;} 11 exgcd(b,a%b,x,y); 12 int res=x;x=y;y=res-a/b*x; 13 } 14 signed main(){ 15 scanf("%lld%lld%lld%lld",&t,&Mod,&n,&m); 16 if(n<0)n=-n; if(m<0)m=-m; 17 if(t<n+m){puts("0");return 0;} 18 if(t-n-m&1){puts("0");return 0;} 19 for(int mm=Mod,i=2;i<=100000;++i) 20 if(mm%i==0)mod[++mods]=i,mm/=i; 21 else if(i==100000&&mm!=1)mod[++mods]=mm; 22 for(int modi=1;modi<=mods;++modi){ 23 int na=n,a=0,mb=m+(t-n-m)/2,b=(t-n-m)/2,C=1,tms=0; 24 for(int i=1;i<=t;++i){ 25 int res=i; 26 while(res%orz==0)tms++,res/=orz; 27 C=C*res%orz; 28 }//printf("-%lld %lld\n",C,tms); 29 for(int i=1;i<=na;++i){ 30 int res=i; 31 while(res%orz==0)tms--,res/=orz; 32 C=C*pow(res,orz)%orz; 33 }//printf("--%lld %lld\n",C,tms); 34 for(int i=1;i<=mb;++i){ 35 int res=i; 36 while(res%orz==0)tms--,res/=orz; 37 C=C*pow(res,orz)%orz; 38 }//printf("---%lld %lld\n",C,tms); 39 for(int i=1;i<=b;++i){ 40 int res=i; 41 while(res%orz==0)tms--,res/=orz; 42 C=C*pow(res,orz)%orz; 43 }//printf("----%lld %lld\n",C,tms); 44 ans[modi]=(ans[modi]+(tms?0:C))%orz; 45 while(b){ 46 b--;mb--;a++;na++;int res; 47 res=b+1;while(res%orz==0)tms++,res/=orz;C=C*res%orz; 48 res=mb+1;while(res%orz==0)tms++,res/=orz;C=C*res%orz; 49 res=a;while(res%orz==0)tms--,res/=orz;C=C*pow(res,orz)%orz; 50 res=na;while(res%orz==0)tms--,res/=orz;C=C*pow(res,orz)%orz; 51 (ans[modi]+=(tms?0:C))%=orz;//printf("-----%lld %lld\n",C,tms); 52 } 53 exgcd(Mod/orz,orz,x,y); x*=ans[modi]; x=(x%orz+orz)%orz; 54 (Ans+=Mod/orz*x%Mod)%=Mod; 55 } 56 //for(int i=1;i<=mods;++i)printf("%lld %lld\n",mod[i],ans[i]); 57 printf("%lld\n",Ans); 58 }
