集合计数 ：容斥原理

zkt大神的同题题解：  https://www.cnblogs.com/hzoi-DeepinC/articles/11102979.html

Description

一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

Sample Explanation

假设原集合为{A,B,C}

则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}

Hint

对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

写题解不只是为了写题解，重在讲思路，想直接看正解的兄台自行跳跃阅读。

抱歉我脑子略笨，的确是没能一下想到正解，第一思路是一个n²的暴力

70%算法

虽说是暴力，但其实思路并不太好想，因为乍一下没有上正轨，所以最后的思维量几乎比std还大

然而只有70分，没人会体恤你有多笨QAQ

假如原问题的含义以函数f(n,k)表示，即n元素交集为k的方案数

我们可以认为这个过程分为两步：f(n,k)=C(n,k)*f(n-k,0)

第一步是从n个元素中选出k个C(n,k)，其次要任意选集合使它们的交集恰好为这k个元素

那么我们可以确定，最后被选出的集合中，每个集合都含有这k个元素，而其余元素的交集为空集:f(n-k,0)

如：{a，b，c}三个元素，k=1时，假如你选定了a，那么可能出现的集合有：{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}

去掉你选中的元素a，剩下的是Ø,{b},{c},{b,c}，你要在这几个集合中任选，使它们交集为空

一种可能的选法是{a},{a,b},{a,b,c}，去掉a后剩下Ø,{b},{b,c},它们的交集的确为空

看起来“其余元素交集为空”这个问题会更好解一些，即f(s,0)。

假如真的是这样，那么问题就化简成了f(n,k)=C(n,k)*f(n-k,0)

这样所有的问题都可以依赖f(n-k,0)来求解了。我们只需要求出f(x,0)这个数列

我一直在尝试找到这个数列的规律，于是我手模了许多点，得到了f(n,k)的表格

//Update:感谢starsing大神更正数据，f(4,0)应该是64594

这个表格里貌似规律很多，但是f(x,0)真的有规律么：2，10，218，64594...

我没发现。。。但是我发现了最后一行：所有选法是2^{2^n}-1,因为一共2ⁿ个集合，每一个集合都可以选或不选

但不能都不选，所以要-1。

现在我们就能得到f(x,0)了，假如我们已知所有的f(1,0),f(2,0)....f(x-1,0),用总数减去∑_i=1->xf(x,i)即∑_i=1->xC(x,x-i)*f(x-i,0)

这样是n²的，在求f(n,k)的过程中我们可以求出所有的f(m,s)值(m<=n)

但是大多数f值都没有用，存下它们会爆内存，于是用完直接覆盖就行，保留f(x，0)即可

#include<cstdio>
#define int long long
const long long mod=1000000007;
long long fac[1000005],inv[1000005],invv[1000005],x,y,n,k,f0[1000005],f[1000005];
long long pow(long long b,long long t,long long modd,long long ans=1){
    for(;t;t>>=1,b=b*b%modd)if(t&1)ans=ans*b%modd;
    return ans;
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    fac[0]=inv[0]=invv[0]=f0[0]=invv[1]=inv[1]=fac[1]=1;f0[1]=2;
    for(int i=2;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,invv[i]=(-mod/i*invv[mod%i])%mod,inv[i]=inv[i-1]*invv[i]%mod;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        f0[i]=(pow(2,pow(2,i,mod-1),mod)-1+mod)%mod;
        for(int j=1;j<=i;++j)f[j]=fac[i]*inv[j]%mod*inv[i-j]%mod*f0[i-j]%mod,f0[i]=(f0[i]-f[j]+mod)%mod;
        f[0]=f0[i];
    }
    printf("%lld\n",(f[k]+mod)%mod);
}

100%算法

在求f(n,k)的过程当中出现了太多的冗余运算量，肯定不是正解，死了～

不知道有没有大神能优化那个我认为没救了的算法，我是抛弃它了

然后我们还是好好看看题目吧：又是交集又是子集的，能想到什么？

呃。。这个悬念有点无趣，因为我在题目里就已经说了。。容斥嘛。。。

为什么刚开始想不到啊啊啊啊（笨，不解释）

每次我都喜欢举这个例子：4个圈的venn图

这是一张让我第二次受益匪浅的图

现在考虑n=4，k=2

每个圈分别叫{a，b，c，d}，它们包含的部分都表示这些选法的交集含有这个元素

那么两个圈的公共部分就表示他们的交集含有两个元素

仔细想想每个图里要填些什么，我不方便把我的草稿纸照下来。。

假如只被一个圈包含的颜色最浅的部分叫做1级部分，两个圈的公共部分而不被其它圈包含的叫做2级部分，以此类推

最后可以发现，1级部分上都写着218，2级上是10，3级是2，4级是1。

p级是f(n-p,0)。。。唉。。。看似没什么进展，还是不会求啊

但是我们再找找别的规律：

重新定义级数，1级表示含有1个特定元素的部分（可以不是恰好只含有它），如图中3个完整的圆都是1级部分，整个红色区域也是1个1级的

对于每个4级部分，是1

对于每个3级部分，是2+1=3

对于每个2级部分，是10+2+1+2=15

对于每个1级部分，是10+2+1+2+2+10+10+218=255

对于每个s级部分，是2^n-s-1

我们现在要求f(4,2),尝试用这些部分把它表示出来吧

1级部分我们貌似用不到

2级部分用得到，一共有6个2级部分，是C(4,2)，把它们加上，ans=6*15=90

然而在加2级部分的时候我们误加了一些3级部分，把它们减去

有几个呢？每个2级部分都包括2个3级部分，那么一共12个，ans=ans-12*3=54

然而又一次地，我们减去过多的4级部分了，该加回来多少呢？

在加2级部分时，每个2级部分包含1个4级部分，6个2级部分一共加了6个4级部分

在减3级部分时，每个3级部分包含1个4级部分，12个3级部分一共减了12个4级部分

所以一共应该加回来6个4级部分，ans=ans+6×1=60 对了！

现在只剩下了两个问题：怎么求2^{2^n}?怎么获得一个k级部分应该被加减几次？

对于第一个问题，显然不能直接把指数对1e9+7取模，答案不对，那应该怎么办？

费马小定理：a^p-1Ξp(mod p)  p是质数

所以说指数是可以对p-1取模，即1e9+6

对于第二个问题就没那么好想了，至少我想的超麻烦

求f(n,k):显然k级部分需要被加C(n,k)次，为了方便研究（我懒得打），把所有数缩小这么多倍，最后再乘回来

k级：1

k+1级:-C(n-k,1)=-1(n-k)

k+2级:-C(n-k,2)+C(n-k-1,1)*C(n-k,1)=-(n-k)(n-k-1)/2+(n-k)(n-k-1)=(1/2)*(n-k)(n-k-1)

k+3级:-C(n-k,3)+C(n-k-1,2)*C(n-k,1)+C(n-k-2,1)*(-C(n-k,2)+C(n-k-1,1)*C(n-k,1))=(-1/6+1/2-1/2)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)=(-1/6)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)

k+4级:-C(n-k,4)+...=(-1/24+1/6-1/4+1/6)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)(n-k-3)=(1/24)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)(n-k-3)

红色部分的系数，是正负交替的，而其绝对值是阶乘的倒数，用逆元解决

而后面的部分显然是一段连乘，用阶乘和阶乘的逆元解决。代码实现自行处理。

#include<cstdio>
const long long mod=1000000007;
long long fac[1000005],inv[1000005],invv[1000005],x,y,n,k,ans,res;
inline long long pow(long long b,long long t,long long modd,long long ans=1){
    for(;t;t>>=1,b=b*b%modd)if(t&1)ans=ans*b%modd;
    return ans;
}
inline long long c(long long b,long long t){return fac[b]*inv[t]%mod*inv[b-t]%mod;}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    fac[0]=inv[0]=invv[0]=invv[1]=inv[1]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,invv[i]=(-mod/i*invv[mod%i])%mod,inv[i]=inv[i-1]*invv[i]%mod;res=c(n,k);
    for(int i=k;i<=n;++i)
        ans=(ans+(((k-i)&1)?-1:1)*res*inv[i-k]%mod*fac[n-k]%mod*inv[n-i]%mod*(pow(2,pow(2,n-i,mod-1),mod)-1))%mod;
    printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}