CF407C.Curious Array k阶差分
CF407C.Curious Array k阶差分
题意
给定长度为\(n\)的数组\(a\),进行\(m\)次修改,每次修改给定\(l ,r,k\),给区间\([l,r]\)加上\(\binom{j - l_i + k_i}{k_i}\)
求所有修改以后每个数的值
\[1 \leq n,m\leq10^5\\
0\leq a_i \leq 10^9\\
1\leq l_i \leq r_i \leq n,0\leq k \leq 100
\]
分析
尝试从\(k\)比较小来入手,显然给定的\(a\)初始大小我们并不关心
考虑\(a\)数组的差分数组
1阶差分
\[\binom{k-1}{k-1},\binom{k}{1}...\binom{r-l+k-1}{k-1}\\
\]
二阶差分
\[\binom{k-2}{k-2},\binom{k-1}{k-2}...\binom{r-l+k-2}{k-2}
\]
\(n\)阶差分
\[\binom{k-n}{k-n},\binom{k-n+1}{k-n}...\binom{k-l+k-n}{k-n}
\]
如果能够维护\(n\)阶差分数组,就可以最后对差分数组做前缀和还原出原数组,容易发现最多进行\(k+1\)次差分后全部变为0,再注意维护r+1$的位置
他们的和就是\(\sum_{i=0}^k\binom{r-l+k-i}{r-l} = \binom{r-l+k-i+1}{k-i+1}\)
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<ll,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> VI;
inline ll rd(){
ll x;
scanf("%lld",&x);
return x;
}
const int MOD = (int)1e9 + 7;
inline void add(int &a,int b){
a += b;
if(a >= MOD) a -= MOD;
}
inline int mul(int a,int b){
return (ll)a * b % MOD;
}
inline int ksm(int a,int b = MOD - 2,int m = MOD){
int ans = 1;
int base = a;
while(b){
if(b & 1) ans = mul(ans,base);
base = mul(base,base);
b >>= 1;
}
return ans;
}
const int maxn = 2e5 + 5;
int iv[maxn];
int fac[maxn];
inline int C(int n,int m){
if(n < m) return 0;
return mul(fac[n],mul(iv[m],iv[n - m]));
}
int ans[maxn][105];
int a[maxn];
int main(){
fac[0] = iv[0] = 1;
for(int i = 1;i < maxn;i++)
fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
iv[maxn - 1] = ksm(fac[maxn - 1]);
for(int i = maxn - 2;i;i--)
iv[i] = mul(iv[i + 1],i + 1);
int n = rd();
int m = rd();
for(int i = 1;i <= n;i++)
a[i] = rd();
for(int i = 0;i < m;i++){
int l = rd();
int r = rd();
int k = rd();
for(int j = 0;j <= k;j++){
add(ans[l][j],C(k,k - j));
}
for(int j = 0;j <= k;j++){
add(ans[r + 1][j],MOD - C(r - l + k + 1,k - j));
}
}
for(int i = 1;i < n;i++)
for(int j = 101;j >= 1;j--)
add(ans[i + 1][j - 1],(ans[i][j] + ans[i][j - 1]) % MOD);
for(int i = 1;i <= n;i++)
printf("%d ",(ans[i][0] + a[i]) % MOD);
}