# [Codeforces Round #751](https://codeforces.com/contest/1601) C.Optimal Insertion 分治 ##

Codeforces Round #751 C.Optimal Insertion 分治

题意

给定数组\(a,b\) 在数组\(a\)中按照任意顺序插入\(b\) 中所有元素

\[1\leq n,m\leq 10^6\\ 1 \leq a_i ,b_i \leq 10^9 \]

分析

有性质：数组\(b\)必然在\(a\)中不降序排列，证明显然

对于插入位置为\(i\)的数\(x\)，对\(a\)产生的逆序对的贡献是$\sum_{j < i}[a_j > x] + \sum_{j > i}[a_j < x] $

我们希望这个数最小

\[\sum_{j < i}[a_j > x] + \sum_{j > i}[a_j < x] = \sum_{j < i}[a_j > x] + (n - i ) - (\sum_{j \leq n}[a_j > x] - \sum_{j < i}[a_j > x]) =C - 2\sum_{j < i}[a_j > x] - i \]

其中\(C\)是常数，这意味着我们寻求此式最小，只需要求\(\sum_{j < i}[a_j > x] - i\)最大

于是考虑类似处理中位数的做法，把\([a_j > x]\)的\(a_j\)看成1，\([a_j < x]\)的\(a_j\)看成-1，否则看成0，只需找前缀最大

于是可以用线段树维护前缀和，对每个\(b\) 在\(O(log)\)时间内找到插入的位置，要动态维护-1，0，1的位置

这里介绍题解的做法，注意到对于\(b_i\)的位置\(pos_i\),\(pos_i\)具有单调性，于是我们可以先找出\(pos_{mid}\) ，由单调性，对于\(i < mid\)，\(pos_i < pos_{mid}\) ，右侧同理，于是只需要继续递归确定其他点的位置，这样二分下去，最多递归log层，复杂度\(O((n+m)log(n+m))\)