Pólya 定理 模板

Pólya 定理 模板

Burnside 定理

定义\(G\)为一个置换群，定义其作用于\(X\),如果\(x,y \in X\) 在\(G\)作用下相等即存在\(f \in G\) 使得\(f(x) = y\) 则定义\(x,y\)属于一个等价类，则不同的等价类的数量为\(|X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} X^g\)

其中\(X^g\)表示\(X\)在\(g\)作用下的不动点的数量 即满足\(g(x) = x\)这样的\(x\)的数量

Pólya 定理

\[|X/G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G}|B|^{c(g)} \]

其中\(B\)表示颜色的集合，\(c(g)\)表示置换\(g\)能拆分成的不相交的循环置换的数量

题意

给定\(n\)个点 \(n\)条边的环 有\(n\)种颜色 给每个顶点染色 问有多少种本质不同的染色方案

分析

题目中仅有的作用就是旋转，根据Pólya 定理 考虑旋转0个，1个...n-1个

对于旋转\(k\)个而言，显然它的所有循环节相等 满足\(kk' \equiv 0(mod \ n)\) 有\(k' = \frac{[n,k]}{k}\)

那么循环置换的个数\(n / k' = (n,k)\)

于是\(ans = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n n^{(n,k)}\)

简单的变换即可得到\(ans = \frac{1}{n}\sum_{d|n} n^d \phi(\frac{n}{d})\)