ARC101 D Median of Medians 二分+前缀和处理中位数

ARC101 D Median of Medians 二分+前缀和处理中位数

题意

给定长度为\(n\)的序列\(a\)，每一个区间都有一个中位数，对于所有区间一共会生成\((n + 1)n / 2\)个中位数

问这些中位数生成的序列产生的中位数是多少

\[1\leq n\leq 10^5\\ 1 \leq a_i \leq 10^9 \]

分析

二分最终序列的中位数\(x\)

对于原序列，若原数大于等于\(x\),标记为\(1\),否则为\(-1\),对该序列求前缀和，对于一段区间如果大于零，说明该区间的中位数大于等于\(x\)，若这样的区间的个数大于等于\((n + 1)n / 4\)，说明结果的中位数大于等于\(x\),说明需要使\(l\)变大，这样就有了二分的性质

求这样的区间个数只需使用树状数组用类似求逆序对的方法来求顺序对即可

代码

int a[100005];
int b[100005];
int n;

struct BIT{
	int c[200005];
	void add(int pos,int v){
		for(;pos <= 200000;pos += pos & -pos){
			c[pos] += v;
		} 
	} 
	int query(int pos){
		int res = 0;
		for(;pos > 0;pos -= pos & -pos){
			res += c[pos];
		}
		return res;
	}
}bit;


bool check(int x){
	for(int i = 0;i <= 200000;i++)
		bit.c[i] = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		if(a[i] >= x) b[i] = 1;
		else b[i] = -1;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		b[i] += b[i - 1];
	ll res = 0;
	for(int i = 0;i <= n;i++){
		res += bit.query(b[i] + 100000);
		bit.add(b[i] + 100000,1);
	}
	return res >= (ll)n * (n + 1) / 4;		
}


int main(){
	n = rd();
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		a[i] = rd();
	int mx = *max_element(a + 1,a + n + 1);
	int l = 0,r = mx;
	while(l < r) {
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if(check(mid)) l = mid;
		else r = mid - 1;
	}
	cout << l;
}