P5495 Dirichlet前缀和

P5495 Dirichlet前缀和

题意

给定长度为\(n\)的序列\(a_i\)，求出长度为\(n\)的数列\(b\)满足

\[b_k = \sum_{i|k}a_i \]

对\(b\)取模\(2^{32}\)

\[1 \leq n \leq 2\times10^7 \]

分析

\(a_i\)贡献到\(b_j\)当且仅当任意\(k\)，\(\alpha_k \leq \beta_k\)，其中\(\alpha ,\beta\)分别为\(p_k\)的指数

实际上就是对于质因子的高维前缀和，用处理高维前缀和的一般方法即可

\[T(n) =\sum_p \lfloor \frac{n}{p} \rfloor = O(nloglogn) \]

代码

	for(int i = 0;i < cnt;i++){
		for(int j = 1;j * prime[i] <= n;j++){
			a[prime[i] * j] += a[j]; 
		}
	}

高维前缀和

对于二维可以使用不容斥的方法

	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			a[i][j] += a[i][j - 1];
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			a[i][j] += a[i - 1][j];

三维类似

	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			for(int k = 1;k <= p;k++)
				a[i][j][k] += a[i - 1][j][k];
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			for(int k = 1;k <= p;k++)
				a[i][j][k] += a[i][j - 1][k];
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		for(int j = 1;j <= m;j++)
			for(int k = 1;k <= p;k++)
				a[i][j][k] += a[i][j][k - 1];

对于所有\(0 \leq i \le 2^n - 1\),求解\(\sum_{j\subset i} a_j\)

若是枚举子集我们知道复杂度是\(O(3^n)\)，若使用高维前缀和复杂度可以降为\(O(n2^n)\)

代码

	for(int j = 0;j < n;j++)
		for(int i = 0;i < (1 << n);i++)
			if((i >> j) & 1) f[i] += f[i ^ (1 << j)];

由于\(i\)是正序枚举，计算时\(i \ xor \ (1 << j)\)还在上层，因此直接加即可