P2401 不等数列 简单计数DP

P2401 不等数列 简单计数DP

题意

任意\(1-n\)的排列中，将两数之间插入“<”或者">"的关系，问所有排列中恰有\(k\)个"<"的个数

\[k \leq n \leq 1000 \]

分析

因为只问最终的\(n\)个排列，我们可以钦定\(n\)个数的插入顺序由小到大，那么对于已存在的数必然由形如"<,<,>.>,<.<..."组成，经过简单分析可以知道，若插入两边，分别会导致">"数和"<"数加一。插在"<"中间，会导致多一个">"，插在">"中间会导致多一个"<"

于是令\(dp[i][j]\)表示前i个数恰好有\(k\)个"<"的方案数，有

\[dp[i + 1][j] += dp[i][j] * (j + 1)\\ dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j] * (i - j) \]

代码

int main(){
	int n = rd();
	int k = rd();
	vector<vector<int>> dp(n + 1,vector<int>(n + 1,0));
	dp[1][0] = 1;
	for(int i = 1;i < n;i++){
		for(int j = 0;j < i;j++){
			dp[i + 1][j] += dp[i][j] * (j + 1) % MOD;
			dp[i + 1][j] %= MOD;
			dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j] * (i - j) % MOD;
			dp[i + 1][j + 1] %= MOD;	
		}
	} 
	cout << dp[n][k];
}