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P3092 [USACO13NOV]No Change G 状压 + 二分

P3092 [USACO13NOV]No Change G 状压 + 二分

题意

约翰到商场购物,他的钱包里有K(1<=K<=16)个硬币,面值的范围是[1,1e9]

约翰想按顺序买 N个物品(1<=N<=100,000),第i个物品需要花费c(i)块钱,(1<=c(i)<=10,000)。

在依次进行的购买N个物品的过程中,约翰可以随时停下来付款,每次付款只用一个硬币,支付购买的内容是从上一次支付后开始到现在的这些所有物品(前提是该硬币足以支付这些物品的费用)。不幸的是,商场的收银机坏了,如果约翰支付的硬币面值大于所需的费用,他不会得到任何找零。

请计算出在购买完N个物品后,约翰最多剩下多少钱。如果无法完成购买,输出1

分析

  • 注意审题,每次只能投一枚硬币
  • k比较小,考虑状压DP,dp[i]表示状态i下的最多能买到第几个物品
  • 显然第k 枚硬币是从上一个硬币转移而来的,转移方程dp[i]=max{dp[ik]+f(k)}
  • f(k)可以二分,于是总体复杂度O(2kklogn)
  • 由于要知道多少钱,再开一个辅助数组即可

代码

int n,k;

int dp[1 << 16];
ll f[1 << 16];
ll sum[100005];
int a[100005];

int check(int x,int t){
	int l = t;
	int r = n;
	while(l < r){
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if(sum[mid] - sum[t - 1] <= x) l = mid;
		else r = mid - 1;
	}
	return l;
}

int main(){
	ll res = 1e18;
	ll tot = 0;
	k = readint();
	n = readint();
	for(int i = 0;i < k;i++)
		a[i] = readint(),tot += a[i];
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		sum[i] = sum[i - 1] + readll();
	for(int i = 1;i < (1 << k);i++)
		for(int j = 0;j < k;j++)
			if(i & (1 << j)) {
				int x = i ^ (1 << j);
				ll tmp = check(a[j],dp[x] + 1);
				if(tmp > dp[i]) {
					dp[i] = tmp;
					f[i] = f[x] + a[j];
				}
				if(tmp == n) 
					res = min(res,f[i]);
			}
	if(tot - res < 0) puts("-1");
	else cout << tot - res;
}
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