UVA-10288 Coupons 数学期望

UVA-10288 Coupons 数学期望

题意

每张彩票上有一个漂亮图案，图案一共n种，如果你集齐了这n种图案就可以召唤神龙兑换大奖。

现在请问，在理想（平均）情况下，你买多少张彩票才能获得大奖的？

\[n \leq 33 \]

输入输出采用分数形式

分析

假设当前已经得到了\(k\)种图案，那么得到新的图案的概率是\(\frac{n - k}{n}\)

期望次数就是\(\frac{n}{n-k}\)

令\(E(i)\)表示从\(i- 1\)种到\(i\)种的期望

根据期望的线性性质

\[EX = \sum E(i)\\ = \sum \frac{n}{n-i}\\ =n \sum \frac{1}{i} \]

代码

class Rat {
public:
	ll a;
	ll b;
	Rat(ll x, ll y) { a = x, b = y; }
	void add(Rat r) {
		a = a * r.b + b * r.a;
		b = b * r.b;
		ll tmp = a;
		a /= gcd(a, b);
		b /= gcd(tmp, b);
	}
};

int getlen(ll x) {
	int cnt = 0;
	while (x) x /= 10, cnt++;
	return cnt;
}


void out(Rat r) {
	ll n = r.a / r.b;
	ll s = r.a % r.b;
	if (s == 0) printf("%lld\n", n);
	else if (n == 1) {
		int len1 = getlen(s);
		int len2 = getlen(r.b);
		printf("%lld\n", s);
		int tmp = max(len2, len1);
		while (tmp--) printf("-");
		printf("%lld\n", r.b);
	}
	else {
		int len1 = getlen(n);
		len1++;
		int l1 = len1;
		int len2 = getlen(r.b);
		int len3 = getlen(s);
		len2++;
		len3++;
		while (len1--) printf(" "); printf("%lld\n", s);
		printf("%lld", n);  printf(" ");
		int tmp = max(len2, len3);
		tmp--;
		while (tmp--) printf("-");
		puts("");
		while (l1--) printf(" "); printf("%lld", r.b);
		puts("");
	}
}

int main() {
	int n;
	while (~scanf("%d", &n)) {
		Rat r(1ll , 1ll);
		for (int i = 2; i <= n; i++) r.add(Rat(1, i));
		r.a *= n;
		ll x = r.a;
		ll y = r.b;
		r.a /= gcd(x, y);
		r.b /= gcd(x, y);
		out(r);
	}
}