【习题】3.4 解对初值和参数的连续性和可微性

[T030401] 证明解对方程右端函数的连续性定理: 设方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)\) 的右端函数 \(f(x,y)\) 在区域 \(D\) 中连续, 且满足 Lipschitz 条件, \(y=\xi(x),x\in[x_n,X],X<b\) 是方程的经过点 \((x_0,\xi_0)\) 的解. 则对任意的 \(\varepsilon>0\), 存在 \(\delta(x)\ge0,\delta(x)\in C[x_n,X]\), 对任何方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g(x,y)\), 只要 \(g(x,y)\) 在区域 \(D\) 中连续, 满足局部 Lipschitz 条件以及不等式

\[|f(x,y)-g(x,y)|\le \delta(x),\quad x_0\le x\le X, \ -\infty<y<+\infty \]

那么方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g(x,y)\) 的经过点 \((x_0,\xi_0)\) 的积分曲线 \(y=\eta(x)\) 也必在 \([x_0,X]\) 上有定义, 且在 \([x_0,X]\) 上满足不等式

\[|\eta(x)-\xi(x)|< \varepsilon,\quad x_0\le x\le X. \]

    证 因为 \(f(x,y)\) 在区域 \(D\) 中连续, 且满足 Lipschitz 条件, 故由 Picard 存在唯一性定理可知满足初始条件 \(y|_{x=x_0}=\xi_0\) 的解 \(y=\xi(x)\) 存在且唯一. 记积分曲线 \(y=\xi(x)\) 为 \(l_1\), 则 \(l_1: \ y=\xi(x),x\in[x_0,X]\) 为 \(xOy\) 平面上的有界闭集. 对 \(l_1\) 上的任一点 \((x,y)\), 必存在以该点为圆心的开圆 \(C\subset D\), 使在其内的函数 \(f(x,y)\) 关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件. 根据有限覆盖定理, 可找到有限个具有此性质的开圆 \(C_i \ (i=1,2,\cdots,N)\), 且它们的全体可以覆盖整个积分曲线段 \(l_1\). 设 \(C_i\) 的半径为 \(\varepsilon_i\), Lipschitz 常数为 \(L\). 再记 \(\varepsilon_0=\min\limits_{1\le i\le N}\{\varepsilon_i\}\), 令 \(\Omega=\bigcup\limits_{i=1}^NC_i\), 则 \(l_1\subset \Omega\subset D\), 且 \(\Omega\) 的边界 \(\partial \Omega\) 到 \(l_1\) 的距离为 \(0<\rho\le\varepsilon_0\).
    设方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=g(x,y)\) 经过点 \((x_0,\xi_0)\) 的积分曲线为 \(l_2:\ y=\eta(x)\). 注意到 \(\xi(x)\) 与 \(\eta(x)\) 满足积分方程

\[\xi(x)=\xi_0+\int_{x_0}^xf(t,\xi(t))\mathrm{~d}t,\quad \eta(x)=\xi_0+\int_{x_0}^xg(t,\eta(t))\mathrm{~d}t \]

则

\[\begin{aligned} |\xi(x)-\eta(x)|&=\left|\int_{x_0}^xf(t,\xi(t))\mathrm{~d}t-\int_{x_0}^xg(t,\eta(t))\mathrm{~d}t\right|\\ &=\left|\int_{x_0}^x\left[f(t,\xi(t))-f(t,\eta(t))\right]\mathrm{~d}t+\int_{x_0}^x\left[f(t,\eta(t))-g(t,\eta(t))\right]\mathrm{~d}t\right|\\ &\le L \int_{x_0}^x\left|\xi(t)-\eta(t)\right|\mathrm{~d}t+\int_{x_0}^x\delta(t)\mathrm{~d}t\\ &=\int_{x_0}^x \left[L\left|\xi(t)-\eta(t)\right|+\delta(t)\right]\mathrm{~d}t \end{aligned} \]

由 Gronwall 不等式可知

\[|\xi(x)-\eta(x)|\le\int_{x_0}^xe^{L(x-t)}\delta(t)\mathrm{~d}t \]

     取 \(\bar\varepsilon=\min\{\varepsilon,\rho\}, \ \delta(x)=\frac{L\bar\varepsilon}{2\left(e^{L(X-x_0)}-1\right)}\), 则有

\[\begin{aligned} |\xi(x)-\eta(x)|&\le\int_{x_0}^xe^{L(x-t)}\delta(t)\mathrm{~d}t=\frac{L\bar\varepsilon}{2\left(e^{L(X-x_0)}-1\right)}\int_{x_0}^xe^{L(x-t)}\mathrm{~d}t\\ &\le\frac{L\bar\varepsilon}{2\left(e^{L(X-x_0)}-1\right)}\cdot\frac{w^{L(X-x_0)}-1}{L}=\frac{\bar\varepsilon}{2}<\rho \end{aligned} \]

即积分曲线 \(l_2: \ y=\eta(x)\) 一定在 \(\Omega\) 的内部, 且也有 \(|\xi(x)-\eta(x)|\le\frac{\bar\varepsilon}{2}<\varepsilon\). #