【习题】2.4 参数法

[T020401] 求微分方程的通解 \(y'^2=4y^3(1-y)\).

    解 将方程化为 \(y'=\pm 2\sqrt{y^3(1-y)}\), 当 \(y\neq 0,1\) 时, \(\frac{1}{2y^2\sqrt{\frac 1y-1}}\mathrm dy=\pm \mathrm dx\), 两边积分可得 \(-\left(\frac1y-1\right)^{1/2}=\pm x+c\), 从而原方程的通解为 \(y=\frac{1}{1+(\mp x+c)^2}\), 其中 \(c\) 为任意常数. 此外, \(y=0\) 和 \(y=1\) 也是方程的解. #

[T020402] 求微分方程的通解 \(y'^3+y^3-3yy'=0\).

    解 令 \(y'=p, \ y=pt\), 其中 \(p,t\) 都是参数, 则 \(p^3+p^3t^3-3p^2t=0\). 当 \(p\neq0\) 时,

\[p(1+t^3)-3t=0\Longrightarrow p=\frac{3t}{1+t^3} \]

(此时 \(t\neq 0,-1\), 否则 \(p=0\)) 从而 \(y=\frac{3t^2}{1+t^3}\). 注意到

\[\mathrm dx=\frac{1}{p}\mathrm dy=\frac{1+t^3}{3t}\cdot\frac{3t(2-t^3)}{1+t^3}\mathrm dt=\frac{2-t^3}{1+t^3}\mathrm dt \]

两边积分可得 \(x=-t+\ln\frac{|1+t|}{\sqrt{t^2-t+1}}+\sqrt{3}\arctan\frac{2t-1}{\sqrt3}+c\), 故原方程的通解为

\[\begin{cases} x=-t+\ln\frac{|1+t|}{\sqrt{t^2-t+1}}+\sqrt{3}\arctan\frac{2t-1}{\sqrt3}+c\\ y=\frac{3t^2}{1+t^3} \end{cases} \]

其中 \(c\) 为任意常数.

    当 \(p=0\) 时, \(y=0\) 也是方程的解. #

[T020403] 求微分方程的通解 \(y'^3+y'^2-y'+1=0\).

    解 注意到这是一个奇数次多项式方程且系数全为实数, 故此方程必有实根, 不妨设为 \(y'=a \ (\neq0)\), 则 \(y=ax+c\) 为原方程的解, 从而 \(a=\frac{y-c}{x}\), 于是 \(y'=\frac{y-c}{x}\), 故方程的通解为

\[\left(\frac{y-c}{x}\right)^3+\left(\frac{y-c}{x}\right)^2-\left(\frac{y-c}{x}\right)+1=0. \quad\quad\# \]

[T020404] 用多种方法求解微分方程 \(y^2(1-y'^2)=1\).

    解法一 显然 \(y\neq0\). 当 \(y\neq \pm1\) 时, \(y'=\pm\sqrt{1-\frac{1}{y^2}}\), 即 \(\sqrt{1-\frac{1}{y^2}}\mathrm dy=\pm\mathrm dx\), 两边积分可得 \(\sqrt{y^2-1}=\pm x+c\), 其中 \(c\) 为任意常数. 此外 \(y=\pm1\) 也是方程的解. #

    解法二 注意到 \(y=\pm\sqrt{\frac{1}{1-y'^2}}\), 令 \(y'=p\), 则 \(y=\pm\sqrt{\frac{1}{1-p^2}}\). 当 \(p\neq 0\) 时, 有

\[\mathrm dx=\frac1p\mathrm dy=\pm(1-p^2)^{-\frac32}\mathrm dp\Rightarrow x=\pm\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}+c \]

故原方程的通解为 \(\begin{cases}x=\pm\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}+c\\ y=\pm\sqrt{\frac{1}{1-p^2}}\end{cases}\), 其中 \(c\) 为任意常数. 当 \(p=0\) 时, \(y=\pm1\) 也是原方程的解. #

    解法三 令 \(y'=p\), 则 \(y^2(1-p^2)=1\), 再令 \(p=\cos t\), 可解得 \(y=\pm\frac{1}{\sin t}\). 当 \(p\neq0\) 时, 有

\[\mathrm dx=\frac1p\mathrm dy=\mp\frac{1}{\sin^2 t}\mathrm dt\Rightarrow x=\mp\cot t+c \]

故原方程的通解为 \(\begin{cases}x=\mp\cot t+c\\y=\pm\frac{1}{\sin t} \end{cases}\), 其中 \(c\) 为任意常数. 当 \(p=0\) 时, \(y=\pm1\) 也是原方程的解. #

    解法四 令 \(1-y'^2=\frac{t}{y}\), 则 \(y=\frac{1}{t}, \ y'=\pm\sqrt{1-t^2}\). 当 \(y'\neq0\) 时,

\[\mathrm dx=\frac{1}{y'}\mathrm dy=\mp\frac{1}{t^2\sqrt{1-t^2}}\mathrm dt\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}+c \]

故原方程的通解为 \(\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}+c\\y=\frac{1}{t} \end{cases}\), 其中 \(c\) 为任意常数. 当 \(y'=0\) 时, \(y=\pm1\) 也是原方程的解. #