【习题】2.3 积分因子法

[T020301] 求微分方程通解: \(\left(\frac{y^2}{(x-y)^2}-\frac{1}{x}\right)\mathrm dx+\left(\frac{1}{y}-\frac{x^2}{(x-y)^2}\right)\mathrm dx=0\).

解 设 \(M=\frac{y^2}{(x-y)^2}-\frac{1}{x}, \ N=\frac{1}{y}-\frac{x^2}{(x-y)^2}\), 注意到

\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{2xy}{(x-y)^3}, \]

于是原方程为全微分方程, 又注意到

\[\begin{aligned} \left(\frac1y\mathrm dy-\frac1x\mathrm dx\right)+\frac{y^2\mathrm dx-x^2\mathrm dy}{(x-y)^2}&=0\\ \mathrm d\left(\ln\left|\frac{y}{x}\right|\right)-\mathrm d\left(\frac{xy}{x-y}\right)&=0\\ \mathrm d\left(\ln\left|\frac{y}{x}\right|-\frac{xy}{x-y}\right)&=0 \end{aligned} \]

从而原方程的通解为 \(\ln\left|\frac{y}{x}\right|-\frac{xy}{x-y}=c\), 其中 \(c\) 为任意常数. #

[T020302] 求 Bernoulli 方程的积分因子.

解 因为 Bernoulli 方程可化为一阶线性微分方程, 因此可先求解一阶线性微分方程的积分因子. 设有一阶线性微分方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y+Q(x)\), 其中 \(P(x),Q(x)\) 连续. 将方程变形为 \(\left(P(x)y+Q(x)\right)\mathrm dx-\mathrm dy=0\), 设 \(M=P(x)y+Q(x), N=-1\), 则 \(\frac{\partial M}{\partial y}=P(x), \ \frac{\partial N}{\partial x}=0\), 于是

\[\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=-P(x), \]

故线性方程有一个只依赖于 \(x\) 的积分因子 \(\mu(x)=e^{-\int P(x)\mathrm dx}\). 将此积分因子乘到原方程的两边可得全微分方程

\[e^{-\int P(x)\mathrm dx}\left(P(x)y+Q(x)\right)\mathrm dx-e^{-\int P(x)\mathrm dx}\mathrm dy=0, \]

不难求得其通解为 \(y=ce^{\int P(x)\mathrm dx}+e^{\int P(x)\mathrm dx}\displaystyle\int Q(x)e^{-\int P(x)\mathrm dx}\mathrm dx\).

现设有 Bernoulli 方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)y^n\), 其中 \(n\neq 0,1\) 且 \(p(x),q(x)\) 连续. 方程两边同除 \(y^n \ (y\neq0)\) 有

\[y^{-n}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y^{1-n}p(x)+q(x)\Longrightarrow \frac{\mathrm dy^{1-n}}{\mathrm dx}=(1-n)p(x)y^{1-n}+(1-n)q(x), \]

这是以 \(y^{1-n}\) 为未知函数的一阶线性微分方程, 由上面的讨论可知其积分因子为 \(e^{-(1-n)\int p(x)\mathrm dx}\), 从而原方程的积分因子为 \(y^{-n}e^{-(1-n)\int p(x)\mathrm dx}\), 且原方程的通解为

\[y^{1-n}=ce^{(1-n)\int p(x)\mathrm dx}+(1-n)e^{(1-n)\int p(x)\mathrm dx}\displaystyle\int q(x)e^{-(1-n)\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx. \]

此外, 若 \(n>0\), 则 \(y=0\) 也是方程的解. #