8.15题解

T1

一道数学题，考场上对题意的理解有些问题，现在还没仔细研究，因此鸽了

T2

是个先判断是否存在合法方案，如果有合法方案倒推求每一个$x$的题，倒推的过程有些像模拟，我们先来讨论如何确定是否存在合法方案，它用了个DP你敢想？$skyh$考场AC，人家咋想到的，咱也不知道，咱也不敢问

判断合法

设$dp[i][j]$表示在进行第$i$个运算之后，是否有可能出现1，$dp[i][j]=0$代表无解，$dp[i][j]=1$代表有解，接下来我们考虑对于什么样的$dp[i-1][j]$可以转移到的$dp[i][k]$中，$k$需要满足什么样的条件

对于$and$操作来说，我们原本的结果中已经出现了$j$个一，当前还可以与上一个有$a[i]$个一的数，那我们得到的数中最多有${\min}(a[i],j)$个一，最少应该有$\max(0,a[i]+j-m)$个一，前半个好理解，完全不重合，后半个是不得不重合

对于$or$操作来说，得到的数中最少有$\max(a[i],j)$个一，最多有$\min(m,a[i]+j)$个一

对于$xor$，一最少的情况是有一个数中所有的一都被另一个数抵消了，此时有$|a[i]-j|$个一，再一个就是全部错开了，那此时就有$\min(m,a[i]+j)$个一，但显然还有另一个限制条件就是零的个数，$xor$的结果为一，必须是一个0和一个1$xor$得来的，所以还需要和$2*m-a[i]-j$取一下${\min}$

寻找方案

设$c$当中一有$num$个，那么$dp[n][num]$如果等于1，我们就一定可以找到一组合法方案，接下来我们讨论倒推过程

对于$xor$，假设$y$ $xor$ $x=c$，我们已知$c$以及$xy$中一的个数，求$xy$，由于要满足对于1个数的限制，我们首先想到的应该是在$c$中是0的地方，给$xy$中都放一，其实有几个是0的地方需要放一，是可以算出来的，应该有$\frac{a[i]+j-num}{2}$，我们就找够这么多位给$xy$全放上一，然后在剩下$c$中为1的地方给$x$或$y$放上一即可

$and$和$or$较为简单，可以自己yy一下

T3

正解好像有换根DP之类的，没仔细看，就又咕咕咕了