题目描述
求长度为\(n\)且仅包含小写英文字母且循环节长度恰为\(n\)的字符串的个数。
意思是求一个长度为\(n\)的字符串的个数，它的任意一个子串重复若干次都不能和原串相等
设\(f(n)\)为长度为\(n\)的字符串个数，设\(g(n)\)为题目所求答案的个数
显然
\[f(n)=26^n,f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)
\]
第一个很显然
第二个意思是 任意一个长度为\(d(d\mid n)\)的串，重复\(\frac{n}{d}\)次的和，就是长度为\(n\)的字符串的个数
又设
\[\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]
\]
\([n=1]\)的意思为当\(n=1\)时，表达式值为\(1\)，否则为\(0\)
因为
\[g(n)=\sum_{m\mid n}[\frac{n}{m}=1]g(m)
\]
当表达式为真时，\(n=m\)，\(g(n)=g(m)\)
将\(\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]\)代入
\[g(n)=\sum_{m\mid n}\sum_{d\mid\frac{n}{m}}\mu(d)g(m)
\]
因为\(m\mid n\)，\(d\mid\frac{n}{m}\)，所以可以先枚举d
\[g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{m\mid\frac{n}{d}}g(m)
\]
再看一开始的\(f(n)\)
\[f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)
\]
\[g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{m\mid\frac{n}{d}}g(m)
\]
代入
\[g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)f(\frac{n}{d})
\]
调换下标\(d\to \frac{n}{d}\)
因为枚举\(d\mid n\)等价于\(\frac{n}{d}\mid n\)
\[g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(\frac{n}{d})f(d)
\]
因为
\[f(n)=26^n(O(logn)快速幂)
\]
\[\sum_{d\mid n}枚举因数(O(\sqrt n))
\]
如何求\(\mu(n)\)？
已知$$x=\prod_{i=1}{K}p_i(p_i\in prime),\mu(x)=\prod_{i=1}^{K}a_i=1$$
求证$$\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]$$
证明:
设\(f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)\)
显然\(f(1)=\mu(1)=1\)
假设已经证明\(f(1)\)到\(f(n-1)\)，\(f(1)=1\)，\(f(2)\)到\(f(n-1)\)都为0
当存在某一个\(a_i>0\)时
\[f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d),f(\frac{n}{p_i})=\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d)
\]
\[\because\frac{n}{p_i}<n
\]
\[\therefore f(\frac{n}{p_i})=\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d)=0
\]
\[f(\frac{n}{p_i})=\sum_{d\times p_i\mid n}\mu(d)=0
\]
\[\because f(n)=\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d)+\sum_{d\not\mid\frac{n}{p_i},d\mid n}\mu(d)
\]
\[f(n)=0+\sum_{d\not\mid\frac{n}{p_i},d\mid n}\mu(d)
\]
设\(\sum_{d\not\mid\frac{n}{p_i},d\mid n}\mu(d)\)中\(d\)分解质因数后有\(b_i\)个\(p_i\)
则
\[\begin{cases}b_i\leq a_i(d\mid n)\\b_i>a_i-1(d\not\mid\frac{n}{p_i})\end{cases}
\]
\[\therefore b_i=a_i
\]
\[\because a_i>1
\]
\[\therefore b_i>1
\]
\[\mu(d)=0
\]
\[\sum_{d\not\mid\frac{n}{p_i},d\mid n}\mu(d)=0
\]
\[\therefore f(n)=0+0=0
\]
当对于所有\(a_i\)，\(a_i=1\)时
\[f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)
\]
\[f(n)=\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d)+\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d\times p_i)
\]
\[\because a_i=1
\]
所以\(d\)中不含\(p_i\)因式
\[\therefore\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d\times p_i)=-\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d)
\]
\[\therefore f(n)=\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d)-\sum_{d\mid\frac{n}{p_i}}\mu(d)=0
\]
综上所述，\(f(n)=[n=1]\)
