数学模板合集

1、扩展欧几里得

扩欧，扩展gcd，同余方程，二元一次方程、不定方程(exgcd)

一般形式：

\[ax+by=c \]

\[ax=c\pmod{b} \]

上下两个方程可互相转化
考虑对于

\[ax+by=c$$$$bx'+(a \bmod b)y'=c \]

有

\[bx'+(a-\biggl\lfloor\frac a b \biggr\rfloor\times b)y'=c$$$$bx'+ay'-\biggl\lfloor\frac a b \biggr\rfloor\times by'=c$$$$b(x'-\biggl\lfloor\frac a b \biggr\rfloor y')+ay'=c$$$$ay'+b(x'-\biggl\lfloor\frac a b \biggr\rfloor y')=c \]

即

\[x=y',y=x'-\biggl\lfloor\frac a b \biggr\rfloor y' \]

例如

\[99x+78y=6 \]

代码如下

struct Extended_gcd{
	inline int gcd(int a,int b){
		if(!b)
			return a;
		return gcd(b,a%b);
	}
	inline void exgcd(int a,int b,int c){
		if(!b){
			x=c/a,y=0;
			return ;
		}
		exgcd(b,a%b,c);
		int t=x;
		x=y;
		y=t-(a/b)*y;
	}
}E;