BZOJ1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

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Description

FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点 自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。 农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。 为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。 你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。

Input

* 第1行: 4个用空格隔开的整数：N，T，S，以及E

* 第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数：length_i，I1_i，以及I2_i， 描述了第i条跑道。

Output

* 第1行: 输出1个正整数，表示起点为S、终点为E，并且恰好经过N条跑道的路 径的最小长度

Sample Input

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

Sample Output

10

---

 

可恶的权限题，数据下载在此。

题意：

　　给定一张M 条边的无向带权图,求从起点S到终点E恰好经过K条边的最短路径。2 ≤ M ≤ 100, 2 ≤ K ≤ 1000000。保证每个连边的点度至少为2。

做法：

　　由于题目要求的是经过K条边的最短路径的长度（而不是路径数量），传统的矩阵乘法无法使用。究其本原，矩阵乘法是基于以下递推式：

\[ F_{i,j} = F_{i,k} \times F_{k,j} \]

　　而题述则为：

\[ G_{i,j} = \min (G_{i,k} + G_{k,j})\]

　　思考一下！矩阵乘法还能这样用！

　　太棒了。

#include <cstring>
#include <cstdio>
const int maxn = 100 + 3;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
inline long long min(long long a, long long b) {
    return a < b ? a : b;
}
namespace my_matrix {
    typedef long long MType;
    typedef int IType;
    const MType size = maxn;
    struct Matrix {
        MType d[size][size];
        int row, col;
        inline Matrix() {
            memset(d, 0, sizeof d);
        }
        inline Matrix(int _row, int _col) {
            row = _row, col = _col;
            memset(d, 0, sizeof d);
        }
        inline void init() {
            for(int i = 0; i < row; ++i) {
                d[i][i] = 1;
            }
        }
        inline void set_size(int _set_size) {
            row = col = _set_size;
        }
        inline void clear() {
            memset(d, 0, sizeof d);
        }
        inline void print() {
            for(int i = 0; i < row; ++i) {
                for(int j = 0; j < col - 1; ++j) {
                    printf("%lld ", d[i][j]);
                }
                printf("%lld\n", d[i][col - 1]);
            }
        }
    };
    inline Matrix operator * (const Matrix &lhs, const Matrix &rhs) {
        Matrix ret;
        ret.set_size(lhs.row);
        for(int i = 0; i < ret.row; ++i)
            for(int j = 0; j < ret.col; ++j)
                ret.d[i][j] = INF;
        for(int i = 0; i < lhs.row; ++i)
            for(int j = 0; j < rhs.col; ++j)
                for(int k = 0; k < lhs.col; ++k) {
                    ret.d[i][j] = min(ret.d[i][j], lhs.d[i][k] + rhs.d[k][j]);
                }
        return ret;
    }
    inline Matrix fast_pow(Matrix base, IType index) {
        Matrix ret;
        for(ret.set_size(base.row), memcpy(ret.d, base.d, sizeof base.d); index; index >>= 1, base = base * base)
        if(index & 1) ret = ret * base;
        return ret;
    }
};
using namespace my_matrix;

int hash[1000 + 20], top;
inline int id(int x) {
    if(hash[x] != -1) return hash[x];
    else return hash[x] = top++;
}
int T, S, E, N;
long long g[103][103];

int main() {
    freopen("relays.in", "r", stdin);
    freopen("relays.out", "w", stdout);
    memset(hash, -1, sizeof hash);
    scanf("%d%d%d%d", &N, &T, &S, &E);
    memset(g, INF, sizeof g);
    for(int i = 1; i <= T; ++i) {
        int l, f, t;
        scanf("%d%d%d", &l, &f, &t);
        g[id(f)][id(t)] = g[id(t)][id(f)] = l;
    }
    Matrix base;
    base.set_size(top);
    memcpy(base.d, g, sizeof g);
    base = fast_pow(base, N - 1);
    printf("%lld\n", base.d[id(S)][id(E)]);
}