模拟测试67

T1：

　　求满足$(a+b)<=n$且$n|ab$的数对数。

　　将答案用公式表示：

　　　　$\begin{array}{rl} ans &=& \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{j=1}^n [i+j|ij][i+j<=n] \\ &=& \sum \limits_{i=1}^{n-1} \sum \limits_{j=1}^{n-i} [i+j|ij] \end{array}$

　　设$g=gcd(a,b)$，则当$\frac{a+b}{g}|g$时，满足条件。

　　证明：
　　　　若$a+b|ab$，则$\frac{a+b}{gcd(a,b)}|\frac{ab}{gcd(a,b)}$。

　　　　设$a'=\frac{a}{gcd(a,b)}，b'=\frac{b}{gcd(a,b)}$。

　　　　则$a'+b'|a'b'gcd(a,b)$。

　　　　由于$a'$和$b'$互质，$a'+b'|gcd(a,b)$。

　　满足条件的数对数为：

　　　　$ans=\sum \limits_{i=1}^{n-1} \sum \limits_{j=1}^{n-i} [i+j|gcd(i,j)]$

　　枚举gcd:

　　　　$\begin{array}{rl} ans &=& \sum \limits_{g=1}^{\sqrt{n}} \sum \limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \sum \limits_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor -i}[gcd(i,j)==1][i+j|g] \\ &=& \sum \limits_{g=1}^{\sqrt{n}} \sum \limits_{i=2}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} \sum \limits_{j=1}^{i-1} [gcd(j,i-j)==1][i|g] \end{array}$

　　由更相减损术可知：

　　　　$gcd(x,y)==gcd(y,x-y)$

　　所以：

　　　　$\begin{array}{rl} ans &=& \sum \limits_{g=1}^{\sqrt{n}} \sum \limits_{i=2}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} [i|g] \sum \limits_{j=1}^{i-1} [gcd(i,j)==1] \\ &=& \sum \limits_{g=1}^{\sqrt{n}} \sum \limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor} [i|g] \varphi(i) \\ &=& \sum \limits_{g=1}^\sqrt{n} \sum \limits_{d|g} \varphi(d) \\ &=& \sum \limits_{d=1}^{\sqrt{n}} \lfloor \frac{n}{d^2}\rfloor \varphi(d )\end{array}$

　　线性筛出$\varphi$即可。

　　时间复杂度$O(\sqrt{n})$。

T2：

　　最长上升子序列问题。

　　用数状数组优化能达到$nlogn$的复杂度。

　　还需要统计方案数，在数状数组中装结构体，不断合并，求出当前点在最优状况下的方案数，然后转移。

　　时间复杂度$O(nlogn)$。

T3：

　　斐波那契数，肯定要用到斐波那契数列。

　　设三个数组，$dp[i]$表示斐波那契数，$f[i]$表示第$i$层的白点数，$g[i]$表示黑点数。

　　这三个数组都可以通过递推得到，再处理一个前缀和。

　　分情况讨论：

　　　　若lca为其中一个白点，直接处理子树中白点数之和，成上每层的白点数。

　　　　其他情况下lca均为黑色节点，枚举路径长度，和一个点距lca的深度，另一个点可以算出。

　　　　然后可以得知黑色节点的高度范围，乘上黑色点数即可。

　　时间复杂度$O(n^2)$。