关于盒子与球的问题

题面

故事发生在某一天的下午，

我如同往常一样打开题目...... 然后成功被一堆相同的不同的盒子和球绕晕惹( T﹏T )

为了防止自己再次忘记我觉得还是有必要记录一下哈哈哈哈

题目

1 给定 N 个不同的球,放进 M 个不同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案?

2 给定 N 个不同的球,放进 M 个不同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案?

3 给定 N 个不同的球,放进 M 个相同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案?

4 给定 N 个不同的球,放进 M 个相同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案?

5 给定 N 个相同的球,放进 M 个不同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案?

6 给定 N 个相同的球,放进 M 个不同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案?

7 给定 N 个相同的球,放进 M 个相同的盒子,盒子允许为空,有多少种方案?

8 给定 N 个相同的球,放进 M 个相同的盒子,盒子不允许为空,有多少种方案?

T1 :

对于任意一个球， 均有放入\(1-M\) 一共\(M\)种方案 因此方案数为 \(M^N\)

T6:

可以转化为， 在排成一排的\(N\)个小球的间隙中插入\(M-1\)根木棍使得\(N\)个小球分成\(M\)个部分

一共有\(N-1\)个间隙，因此方案数为\(C_{n-1}^{m-1}\)

T5:

是不是感觉和T6很像呢o(￣▽￣)o 实际上做法也挺类似的

我们先想一想， 如果有\(N\) 个相同的球,放进 \(M\) 个不同的盒子,盒子不允许为空,那我们在每一个盒子中先放上一个球，

是不是问题就变成了求——有\(N-M\) 个相同的球,放进 \(M\) 个不同的盒子,盒子允许为空的方案数了呢(｡･∀･)ﾉﾞ

而反过来推显然也是成立的， 因此，第五个问题就变成了求\(N+M\) 个相同的球,放进 \(M\) 个不同的盒子,盒子不允许为空的方案数啦

方案数为\(C_{n+m-1}^{m-1}\)

T4:

假设我们已经考虑完了前\(n-1\)个球的摆放情况， 现在开始考虑第\(n\)个球应该放在哪里了呀

细想一下，大概可以分成两种情况的：

\((1)\)它单独放在一个新的箱子里(不是盒子的吗emm)

假设新增一个盒子后一共有\(m\)个盒子， 那么它的方案数一定是和\(n-1\)个球，\(m-1\)个盒子的方案数

\((2)\)它放在之前的任意一个盒子当中

假如现在是\(m\)个盒子的话， 那么它的方案数就是\(m*\)(\(n-1\)个球，\(m\)个盒子的方案数)啦

因此， 若我们用\(f[n][m]\)来表示\(n\)个球\(m\)个盒子的方案数的话， 那么\(f[n][m]\)的递推式应该为\(f[n][m]=f[n-1][m-1]+f[n-1][m]*m\)

边界:\(f[i][j]=1(i=j 或 j=1)),f[i][j]=0(j>i)\)。

实际上,这就是第二类斯特林数

T3:

有\(M\)个盒子， 可以为空其实可以转化为有\(1、2、3...M\)个盒子， 不允许为空的情况

因此方案数为\(\sum_{i=1}^{m}f[n][i]\) f[][]的意义与上一题相同哦

T2:

与T4有关哦

我们得出一种\(N\) 个不同的球,放进 \(M\) 个相同的盒子,盒子不为空的方案后，再给每个盒子编号 一共有\(M!\)种不同的编号方案

因此， 总方案数为\(f[N][M]*M!\)

T7:

令方案数为\(f[n][m]\), 我们可以分别考虑盒子均不为空和有空盒子两种情况

当有空盒子时， 因为一定有至少一个空盒子 ， 所以\(f[n][m]=f[n][m-1]\)是成立的

当所有的盒子中都放了小球的时候，

我们可以在每个盒子中先都放一个小球， 于是问题就变成了求\(N-M\) 个相同的球,放进 \(M\) 个相同的盒子,盒子可以为空的方案数啦

此时\(f[n][m]=f[n-m][m]\)emm

因此， 递推式就找到啦o(￣▽￣)d \(f[n][m]=f[n-m][m]+f[n][m-1]\) 边界为\(f[i][j]=1 (i=0or1 或 j=1),f[i][j]=f[i][i] (j>i)\)。

T8:

在每个盒子中先都放一个小球， 于是问题就变成了求\(N-M\) 个相同的球,放进 \(M\) 个相同的盒子,盒子可以为空的方案数啦

方案数:\(0(M>N)\)或者 \(f[N-M][M]\)(\(N>=M\),\(f\) 就是中的 \(f\)呀)。