红黑树

红黑树（Red Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树（Self-balancing Binary Search Tree）。以前也叫平衡二叉B树（Symmetric Binary B-Tree）

1、前言

树的结构

1.1 平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree），简称BBST，常见的平衡二叉搜索树是AVL和红黑树

二叉搜索树

二叉搜索树（Binary Search Tree）是二叉树的一种，简称BST。又称为二叉查找树、二叉排序树

他的特点是任何一个结点的值都大于其左子树的所有结点的值，任何一个结点的值都小于其右子树的所有结点

平衡

平衡（Balance）：就是当结点数量固定时，左右子树的高度越接近，这颗二叉树越平衡（高度越低）。最理想的平衡就是完全二叉树/满二叉树，高度最小的二叉树。

一颗二叉搜索树平均时间复杂度可以认为是树的高度O（h）。

像左边这棵树，结点左右子树的高度相差1，属于平衡二叉搜索树，O（h）=O（logn）

右边的高度达到了最大，已经退化为链表，O（h）=O（n）

改进二叉搜索树

当二叉树退化成链表时，性能很低，所以我们需要在结点插入、删除操作之后，想办法让二叉搜索树恢复平衡（减小树的高度）

但是如果为了追求最理想的平衡，而增加了时间复杂度也不是很有必要，因此比较合理的方案就是：用尽量少的调整次数达到适度平衡。

由此引申出 AVL 树的概念。

1.2 AVL树

AVL树是最早发明的自平衡二叉搜索树之一，它取名字两位发明家的名字：G.M.Adelson-Velsky 和 E.M.Landis。

平衡因子（Balance Factor）：某结点的左右子树的高度差

每个叶子结点的平衡因子都是0、看这棵树，红色数据标注了每个结点对应的平衡因子

举例：

8的左子树高度为2，右子树高度为1，因此平衡因子为1
5的左子树高度0，右子树高度为3，因此平衡因子为-3
4的左子树高度为2，右子树高度4，因此平衡因子为-2

这颗AVL树和它每个结点对应的平衡因子

可以看出AVL树具有以下特点：

每个结点的平衡因子只可能是-1、0、1（如果绝对值超过1，则认为是失衡）
每个结点的左右子树高度差不超过1
搜索、插入、删除的时间复杂度为O（logn）

1.3 B树

B树（Balanced Tree）是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现

一个简单的3阶B树：

特点：

1个结点可以存储超过2个元素，可以拥有超过2个子节点
拥有二叉搜索树的一些特性
平衡，每个结点的所有子树高度一致
矮

m阶B树的性质（m>=2）

m阶B树指的是一个结点最多拥有m个子结点。假设一个结点存储的元素个数为x，那么如果这个结点是：

根节点：1 ≤ x ≤ m - 1
非根结点：┌ m / 2 ┐ - 1 ≤ x ≤ m - 1

如果有子结点，子结点个数为 y = x + 1，那么如果这个结点是：

根结点：2 ≤ y ≤ m
非根结点：┌ m / 2 ┐ ≤ y ≤ m

向上取整（Ceiling），指的是取比自己大的最小整数，用数学符号 ┌ ┐ 表示；
向下取整（Floor），指的是取比自己小的最大整数，用数学符号 └ ┘ 表示。

比如 m=3，子结点个数 2≤y≤3，这个 B 树可以称为（2，3）树、2-3 树。
比如 m=4，子结点个数 2≤y≤4，这个 B 树可以称为（2，4）树、2-3-4 树。比如 m=5，子结点个数 3≤y≤4，这个 B 树可以称为（3，5）树、3-4-5 树

1.4 B树VS二叉搜索树

这是一棵二叉搜索树，通过某些父子结点合并，恰好能与上面的 B 树对应。我们可以得到结论：

B 树和二叉搜索树，在逻辑上是等价的
多代结点合并，可以获得一个超级结点，且 n 代合并的超级结点，最多拥有 (2^n) 个子结点（至少是 (2^n) 阶 B 树）

2、红黑树的定义和性质

红黑树是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉搜索树

为了保证平衡，红黑树必须满足一下性质：

每个结点要么是红色、要么是黑色
根节点必须是黑色
叶结点（外部结点、空结点）是黑色
红色结点不能连续（红色结点的孩子和父亲都是黑色）
对于每个结点，从该点到nil（数尾端，java中为null的结点）的任何路径都包含所相同个数的黑色结点

3、红黑树与B树的等价变换

对红黑树做等价变换，即将所有的红色结点上升一层与它的父节点放在同一行，这就很像一颗4阶B树，转换效果如下：

得出结论：

红黑树与4阶B树（2-3-4树）具有等价性
黑色结点与红色子节点融合在一起，形成1个B树结点
红黑树的黑色结点个数与4阶B树的结点总个数相等

4、红黑树的基本操作

当我们对一棵平衡二叉搜索树进行插入、删除的时候，很可能会让这棵树变得失衡（最坏可能导致所有祖先结点失衡，但是父结点和非祖先结点都不可能失衡）。

为了达到平衡，需要对树进行旋转。而红黑树能够达到自平衡，靠的也就是左旋、右旋和变色。

旋转操作是局部的。当一侧子树的结点少了，向另一侧“借”一些结点；当一侧子树的结点多了，则“租”一些结点给另一侧。

N-node：当前结点
P-parent：父节点
S-sibling：兄弟结点
U-uncle：叔叔结点（p的兄弟结点）
G-grand：爷爷结点（p的父节点）

4.1 左旋

左旋指的是以某个结点作为支点（旋转结点），其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。

4.2 右旋

右旋指的是以某个结点作为支点（旋转结点），其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。

4.3 变色

变色指的是结点的颜色由红色变为黑色或由黑色变为红色

4.4 变换规则

将左旋、右旋和变色结合起来，得到一套变换规则

变色：如果当前结点的父结点和叔叔结点是红色，那么：

把父结点和叔叔结点变为黑色
把祖父结点变为红色
把指针定义到祖父结点

左旋：当前结点是右子树，且父结点是红色，叔叔结点是黑色，对它的父结点左旋

右旋：点前结点是左子树，且父结点是红色，叔叔结点是黑色，那么：

把父结点变为黑色
把爷爷结点变为红色
对爷爷结点右旋

5、红黑树搜索

由于红黑树本来就是平衡二叉搜索树，并且搜索也不会破坏树的平衡，所以搜索算法也与平衡二叉树搜索一致

具体步骤如下：

从根结点开始检索，把根结点设置为当前结点。
若当前结点为空，返回 nil。
若当前结点不为空，比较当前结点 key 与搜索 key 的大小。
若当前结点 key 等于搜索 key，那么该 key 就是搜索目标，返回当前结点。
若当前结点 key 大于搜索 key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤 2。
若当前结点 key 小于搜索 key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤 2。

6、红黑树插入

具体步骤如下：

从根结点开始检索。
若根结点为空，那么插入结点设为根结点，结束。
若根结点不为空，那么把根结点设为当前结点。
若当前结点为 nil，返回当前结点的父结点，结束。
若当前结点 key 等于搜索 key，那么该 key 所在结点就是插入结点，更新结点的值，结束。
若当前结点 key 大于搜索 key，把当前结点的左子结点设置为当前结点，重复步骤 4。
若当前结点 key 小于搜索 key，把当前结点的右子结点设置为当前结点，重复步骤 4

7、插入后实现自平衡

建议新添加的结点默认为红色，因此这样能够让红黑树的性质尽快满足。不过如果添加的结点是根结点，设为黑色即可。

红黑树插入可能出现的场景：

①场景 1：红黑树为空树
红黑树的性质 2：根结点必须是黑色。处理：直接把插入结点设成黑色并作为根结点。②场景 2：插入结点的 key 已存在二叉搜索树中不能插入相同元素，既然结点的 key 已经存在，红黑树也已平衡，无需重复插入。
处理：

将插入结点设为将要替换结点的颜色
更新当前结点的值为插入结点的值

③场景 3：插入结点的父结点为黑色插入的结点默认是红色的，当它的父结点是黑色时，并不会破坏平衡。
处理：直接插入。
④场景 4：插入结点的父结点为红色如果插入结点的父结点为红色，那么父结点不可能为根结点，所以插入结点总是存在祖父结点。这点很重要，后续的旋转操作需要祖父结点的参与。
场景 4.1：存在叔父结点，且为红色

由红黑树性质 4 可知：红色结点不能连续。那么此时该插入子树的红黑层数的情况是：黑-红-红。显然最简单的处理方式就是将其改为：红-黑-红。