伪多项式时间 Pseudo-polynomial time
2018-03-15 14:20:08
伪多项式时间:如果一个算法的传统时间复杂度是多项式时间的,而标准时间复杂度不是多项式时间的,则我们称这个算法是伪多项式时间的。
想要理解“伪多项式时间”,我们需要先给出“多项式时间”的一个清楚的定义。
对于“多项式时间”,我们的直观概念是时间复杂度,其中
是一常数。比如,选择排序的时间复杂度是
,是多项式时间;暴力解决TSP问题的时间复杂度是
,不是多项式时间。我们称这种时间复杂度为“传统时间复杂度”。
我们通常认为传统时间复杂度中的变量
表示数据的输入规模。比如,选择排序中,
指待排序数组中元素的个数;TSP问题中
表示图中节点的数量。但是,这些所谓的输入规模,仅仅是直观的定义,并不足够严谨。为了标准化这些
,在计算标准时间复杂度时,我们给出了输入规模的标准定义:
了解了输入规模的定义,我们来看“多项式时间”的标准定义:一个问题的输入规模是保存输入数据所需要的bit位数。
对于一个问题,在输入规模为x的情况下,如果一个算法能够在O()时间内解决此问题,则我们称此算法是多项式时间的,其中
为一常数。
排序问题:用选择排序对元素个数为
的数组进行排序时,传统时间复杂度为
。输入规模
,因此,得到的标准时间复杂度是
,仍然是多项式时间。因为这的n是只输入数据的数目。
素数测试:给定数字 n,通过从 2 到根号 n 的整数遍历,判断 n 是否为素数。看似时间复杂度是O(n),但是这里的n是输入数字的大小,真实的输入规模为 x = logn,因此实际的时间复杂度是O(x ^ 2),是指数级的时间复杂度。这就是个伪多项式时间复杂度。