局部敏感哈希-Locality Sensitive Hashing-LSH

问题定义

对于一个给定的query，从数据库中召回所有dist<thres的docs。

问题求解

Naive的方法需要O(n)的时间复杂度，LSH只需要O(1)即可实现。

具体来说分为三步：
1）抽取Embedding（LSH中称为Shingling）
2）降维（LSH常用MinHash）
3）LSH

前两步比较简单，也是惯用方式，最后一步LSH算法其实思想也比较好想。
即对于降维后的emb，将其划分为k个bands，每个band有r个row。

核心思路：
【Naive】emb -> hash分桶，同一个桶里的就是相似的文档，精度较差，容易漏召
【LSH】由于emb局部敏感，因此对emb做分段处理，对每个段进行hash分桶，只要有一个分段和别的emb共享同一个桶，那么就认为相似，这样可以大大提高精度和召回，具体概率见概率分析

对于每个band进行hash，任意两个doc如果有>=1个band被分到一个桶中，我们认为他们是相似的。

对于query，我们需要做的就是分band然后hash，最后将同一个桶中所有的doc取出即是最终的答案。

概率分析

设Sim(q, doc) = p，即q和doc的相似度为p。
我们将emb分成k个band且每个band有r个row。
那么对于一个band，其hash值完全一致的概率为$p^r$，则至少有一个不一致的概率为$1 - p^r$。
对于k个band其hash值均不一致的概率为$(1 - p^r)^k$，则至少有一个hash值一致的概率为$1 - (1 - p^r)^k$

若p = 0.8，至少有一个hash值一致的概率为0.99965%；
若p = 0.3，至少有一个hash值一致的概率为4.74%。

Reference

https://www.bilibili.com/video/BV1SC4y187x1?p=3&vd_source=6e6b2d418dac7b0fac4ea954a9be1106
http://web.stanford.edu/class/cs246/slides/03-lsh.pdf
https://zhuanlan.zhihu.com/p/108181478